Đề olympic Toán học lớp 10 năm học 2010 – 2011

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI 
TRƯỜNG THPT NGUYỄN GIA THIỀU 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
 ĐỀ OLYMPIC TOÁN HỌC LỚP 10 
 Năm học 2010 – 2011 
 Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1 (4 điểm) 
 Cho parabol (P) 
2
4
x
y  , đường thẳng bất kỳ qua điểm F(0 ; 1) cắt (P) tại 
hai điểm phân biệt A và B. Chứng minh rằng 
1 1
FA FB
 không đổi. 
Câu 2 (5 điểm) 
1. Giải phương trình 
33 312( 1) 2 3x x x    . 
2. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất 
2 6
6 2
x y m
x y m
    

   
. 
Câu 3 (5 điểm) 
Cho , ,x y z là ba số thực dương. Chứng minh rằng bất đẳng thức 
1 1 1 9
16 16 16 4
x y z
x y z
yz zx xy
    
         
    
. 
Câu 4 (4 điểm) 
Cho tam giác ABC biết BC = a , CA = 2a , AB = 3a . Gọi H là điểm 
được xác định bởi HA 2HB 3HC 0   . 
1. Chứng minh rằng HA2 – 2 HB2 + 3 HC2 = 0. 
2. Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn MA2 – 2 MB2 + 3 MC2 = 6 2a . 
Câu 5 (2 điểm) 
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho điểm A(1 ; 2) và đường thẳng d có 
phương trình 4 3 23 0x y   . Đoạn thẳng EF trượt trên d có độ dài bằng 5. 
Tìm toạ độ E và F sao cho chu vi tam giác AEF nhỏ nhất. 
C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm 
Hä vµ tªn häc sinh:  Sè b¸o danh: