Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2012-2013 - Sở GD&ĐT Phú Thọ (Có đáp án)

 SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 
NĂM HỌC 2012 - 2013 
MÔN: TOÁN - LỚP 9 
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề 
Câu1( 3,0 điểm) 
1) Giải phương trình nghiệm nguyên 
 28 3x 5 25x y y   
2)Tìm tất cả số nguyên dương n sao cho A= .4 3 7n nn  
Câu 2( 4,0 điểm) 
1) Rút gọn biểu thức: A=
2 10 30 2 2 6 2
:
2 10 2 2 3 1
  
 
2) Cho các số thực dương a,b,c,x,y,z khác 0 thoả mãn . 
2 2 2xx yz y z z xy
a b c
  
  
Chứng minh rằng 
2 2 2a bc b ca c ab
x y z
  
  
 Câu 3( 4,0 điểm) 
1) Cho phương trình: 2 6x 0x m   (Với m là tham số). Tìm m để phương trình đã 
cho có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn 
2 2
1 2 12x x  
2) Giải hệ phương trình: 
3 3 3
2 2
8x 27 18
4x 6x
y y
y y
  

 
Câu 4( 7,0 điểm) 
1) Cho đường tròn (O) đường kính BD=2R, dây cung AC của đường tròn (O) thay đổi 
nhưng luôn vuông góc và cắt BD tại H. Gọi P,Q,R,S lần lượt là chân các đường vuông 
góc hạ từ H xuống AB,AD,CD,CB. 
a) CMR: 2 2 2 2DHA HB HC H   không đổi. 
b) CMR : RSPQ là tứ giác nội tiếp. 
2) Cho hình vuông ABCD và MNPQ có bốn đỉnh M,N,P,Q lần lượt thuộc các cạnh 
AB,BC,CD,DA của hình vuông. CMR: DABCS ≤ 
4
MN NP PQ QM
AC
  
Câu 5( 2,0 điểm) 
 Cho a,b,c là các số thực dương. CMR: 
3 2 3 2a 3 2 6
ab bc ca a b c
a b c b c c a b
 
  
     
---Hêt— 
Hướng dẫn 
Câu1.1) 28 3x 5 25x y y  
Z
x
xy
x
x
yxxy 





53
25
40249
53
258
258)53(
2
2 
Khi 3x+5 là ước 25 từ đó tìm được  )5;0();7;2();31;10();( yx 
( cách khac nhân 2 vế với 9 đưavề tích) 
1.2) Với n chẵn n=2k thì 
 Nmmtn
t
kkkkA kkkkk 

 614114
2
17
7127)916(4).12(34.2 222 
Với n lẻ n=2k+1 
 NmmntkkkkA kkkkk   1147727)34(4.234).12( 1212121212  
Vậy 614  mn hoặc 114  mn ( với mọi n )N thì A chia hết cho 7 
Câu2.1)
2 10 30 2 2 6 2
:
2 10 2 2 3 1
  
 
=
2
1
2
13
.
2
13
2
13
.
4
324
2
13
.
2
32
2
13
.
)15(22
)15(6)15(22










2.2) 
2 2 2xx yz y z z xy
a b c
  
  
)3(
)3(2
:
)2(
)3(2
:
)1(
)3(2
333
2
233222224
2
333
2
233222224
2
333
2
233222224
2
222
xyzzyxz
abc
xyzzyzxyx
ab
yxxyzZ
c
Tuongtu
xyzzyxy
acb
zxyyzyxzx
ac
zxxzyy
b
Tuongtu
xyzzyxx
bca
yzxxzxyzy
bc
zyyzxx
a
xyz
c
xzy
b
yzx
a

























Từ (1) (2) (3) ta co ĐPCM 
Câu 3.1) Để phương trình có nghiệm 90/  m (*) 
Mặt khác ta phải có 8
2
.
4
2
.
6
12
.
6
2
21
1
21
21
21
2
2
2
1
21
21



























m
x
mxx
x
xx
mxx
xx
xx
mxx
xx
 TM ĐK (*) 
3.2)Giải hệ phương trình






22
333
64
18278
yxyx
yyx
HD y =0 không là nghiệm của hệ chia 2 vế PT(1) cho y3 PT(2) cho y2 Ta có 
hệ









164
18
27
8
2
2
3
3
y
x
y
x
y
x
 Đặt 







b
y
ax
3
2
 ta có hệ 












1
3
3
18
22
33
ab
ba
abba
ba
Hệ có 2 nghiệm 





























53
6
;
4
53
;
53
6
;
4
53
),( yx 
Câu 4.1) 
O
H
R
S
P
Q
D
C
B
A
a) theo Pitago 
;;;; 222222222222 ADHDHACDHDHCBCHBHCABHBHA  
suy ra đpcm 
b)Tứ giác HPBS nội tiếp DBCHBSHPS  
Tứ giác HPAQ là hình chữ nhật CBDCADHAQHPQ  
Do đó CBCHPQHPSSPQ  2 
Tương tự BDCSQR  2 
Do đó 00 180180  SRQSPQBDCDBC nên tứ giác PQRS nội tiếp ( đ/lí 
đảo) 
4.2) 
L
K
P
Q
I
C
N
D
MA B
Cách 1 Gọi T, K, L là trung điểm MQ, MP, NP theo t/c đường trung bình và trung tuyến tam 
giác vuông ta có ACAIIKCLKLQMPQNPMN 2)(2  từ đó suy ra đpcm 
Cách 2 Ta có theo Pitago 
22
)( 2222 BNBMMN
BNBM
BMBNMN



 ( áp dụng BĐT Bunhiacoopsky) 
Tương Tự 
2
;
2
;
2
AMAQ
MQ
DQDP
PQ
NPCN
NP





 
Nên 
  dpcmaQMPQNPMN
a
a
aAMQADQPDCPNCNBBM
QMPQNPMN




2
4
2
22
2
4
2
Dấu “=” xảy ra khi MNPQ là hình chữ nhật 
Câu 5 
Cho a,b c>0 .Chứng minh rằng: 
6233223
cba
cba
ca
cba
bc
cba
ab 






Dự đoán a=b=c tách mẫu để a+c=b+c=2b 
Tacó áp dụng BĐT 














zyxzyxzyx
zyx
111
9
11
9
111
)( 
1 1 1 1
(1)
3 2 ( ) ( ) 2 9 2 9 2
ab ab ab ab ab a
a b c a c b c b a c b c b a c b c
   
         
            
Tương tự 
1 1 1 1
(2)
2 3 ( ) ( ) 2 9 2 9 2
1 1 1 1
(2)
3 2 ( ) ( ) 2 9 2 9 2
bc bc bc bc bc b
a b c a b a c c a c b c b a b b c
ac ac ac ac ac c
a b c a b b c a a b b c a a b b c
   
         
            
   
         
            
Từ (1) (2) (3) 
629
1 cbacba
ca
abbc
cb
acab
ba
bcac
P






 









 
Dấu “=” xảy ra khi a=b=c