Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2016-2017 - Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Tĩnh (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
HÀ TĨNH 
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 
NĂM HỌC 2016--2017 
ĐỀ THI CHÍNH THỨC 
PHẦN THI CÁ NHÂN 
Môn: TOÁN 
Thời gian làm bài: 120 phút 
I. PHẦN GHI KẾT QUẢ 
Câu 1. Có bao nhiêu hình chữ nhật trong hình vẽ sau: 
Câu 2. Tìm số hạng thứ 7 của dãy số sau đây: 1; 1; 2; 5; 29; 
Câu 3. Có 5 đôi giày màu xanh và 10 đôi giày màu đỏ bỏ chung trong cái hộp. Hỏi 
phải lấy ra ít nhất bao nhiêu chiếc giày ( mà không nhìn vào trong hộp ) để chắc chắn có 
một đôi cùng màu và đi được . 
Câu 4. Có một nhóm bạn rủ nhau đi câu cá, bạn câu được ít nhất câu được 
1
9
 tổng số cá 
câu được, bạn câu được nhiều cá nhất câu được 
1
7
 tổng số cá câu được. Biết rằng số cá 
câu được của mỗi bạn là khác nhau. Hỏi nhóm bạn có bao nhiêu người 
Câu 5. Tìm các số hữu tỷ x, y thỏa mãn đẳng thức: x 2 y 2 2 3   
Câu 6. Giải phương trình 3 3 3x 2 x 4 2    
Câu 7. Giải hệ phương trình 
2 2
2(x 2x y) 3 y
x 2xy y 2
    

  
Câu 8. Cho các số x,y 0 thỏa mãn 
4
x 1
y
  . Tìm giá trị lớn nhất của 
  
2 2
x 2y y 2x
P
x y
 


Câu 9. Cho tam giác ABC có M là trung điểm cạnh AC và các đường thẳng AD, BM, CE 
đồng quy tại K nằm trong tam giác (D BC;E AB  ) Biết AKE và BKE có diện tích lần 
lượt là 210cm và 220cm . Tính diện tích tam giác ABC 
Câu 10. Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết đường cao AH, tung tuyến BM và phân giác 
trong CD đồng quy. Tính 
AB
AC
PHẦN II. TỰ LUẬN 
Câu 11. Tìm số tự nhiên có hai chữ số ab thỏa mãn 
ab
a b
a b
 

Câu 12. Cho tứ giác ABCD nội tiếp được đường tròn và có các cạnh đối không song song . 
Gọi F là giao điểm của AB và CD, E là giao điểm của AD và BC; H, G theo thứ tự là trung 
điểm của các đoạn thẳng AC và BD. Đường phân giác góc BED cắt GH tại điểm I 
a) Chứng minh rằng IH.BD = IG.AC 
b) Cho độ dài CD = 2.AB . Tìm tỉ số diện tích IAB
ICD
S
S
Câu 13. Cho hình tròn ( C) có bán kính bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của số nguyên 
dương k sao cho với mọi cách vẽ k điểm bất kỳ và phân biệt thuộc hình tròn ( C) thì 
luôn tồn tại hai điểm trong k điểm đó thỏa mãn khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 1. 
---HẾT--- 
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 9 HÀ TĨNH NĂM 2016-2017 
Câu 1. Số hình chữ nhật là (1+2+3+4+5).(1+2+3+4)=150 
Cách tính: Xét các hình chữ nhật kích thước m.n 
Câu 2. Đáp số: 750797 
Quy luật 2 2
n 2 n 1 n
a a a (n 1;n )     
Suy ra  
2
2 2 2 2 2
7 6 5 5 4 5
a a a a a a 750797      
Câu 3. Đáp số 16 
Câu 4. Đáp số 8 . Giả sử có n bạn và số cá của các bạn là 
1 2 n
a a ...... a   
Ta có 
n 1 2 n 1 n n 1 1
9a a a ..... a 7a 9a na ;7a na n 8          
Câu 5. Đáp số x= 6; y=
1
2
Câu 6. Đáp số x=2; x=4. Cách giải: đặt ẩn phụ 
Câu 7. Đáp số     (x;y) 1; 1 ; 3;7   
Đặt t 2x y 0   . Ta có phương trình 2t 2t 3 0 t 1     
Câu 8. Đáp số 
max
594
P
257
 
2 2
2 2
4 x x 1 2x 2y 5xy 5
1 x 4 ;P 2
x yy y y 16 x y
y x
 
       


x y x y 255y 1 255 257 5.16 594
2. P 2
y x y 256x 256x 16 256 16 257 257
           
Câu 9. Đáp số 2
BAC
S 75m 
Ta có AKE
BKE
S AE 1
,
S BE 2
  suy ra 
BCE ACE
S 2S 
M là trung điểm AC nên 
ABM CBM AKM CKM BCK ACE
S S ;S S S 30 S 25      
Vậy 2
ABC
S 75m 
Câu 10. Đáp số 
AB 1 5
AC 2

 
Sử dụng định lý Ceva và hệ thức lượng trong tam giác 
Câu 11. Do 
ab
a b
 là số hữu tỉ và a+b là số nguyên dương nên từ 
ab
a b
a b
 

Suy ra a b là số chính phương 
Do a b 18 a b 1;4;9;16     
Thử lại các trường hợp ta có a 2;b 7  Suy ra số cần tìm là 27 
Câu 12 
a) Ta có EBD và EAC đồng dạng nên các đường trung tuyến tương ứng bằng tỉ số 
đồng dạng . Suy ra 
EG BD DG DE
EH AC CH EC
   
Ta có EDG ECH (cùng nhìn cung AB) EDG đồng dạng với ECH 
Kéo theo DEG CEH , suy ra EI là phân giác GEH 
Do đó 
BD EG GI
IH.BD IG.AC(dpcm)
AC EH HI
    
b) Ta có FBD và FCA đồng dạng 
FGD và FHA đồng dạng GFD HFA  
FG GD BD IG
FH HA AC IH
    FI là phân giác GFH 
Suy ra FI là phân giác góc AFD 
Gọi M, N là chân đường vuông góc hạ từ I lên các đường thẳng AB, CD. Khi đó 
IM=IN 
Ta có IAB
ICD
1
IM.AB
S 12
1S 2
IN.CD
2


  
I
HG
E
F
O
A
B
CD
Câu 13. 
Xét k = 7 , vẽ 7 điểm gồm 1 điểm ở tâm và 6 điểm trên cùng đường tròn tạo thành lục 
giác đều. Lúc đó khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ bằng 1. Suy ra k 8 
Với k=8, luôn tồn tại ít nhất 7 điểm không trùng tâm đường tròn. Ta kẻ các bán kính đi 
qua 7 điểm đó. 
Khả năng 1: Nếu có 2 điểm thuộc cùng 1 bán kính thì khoảng cách giữa hai điểm đó nhỏ 
hơn 1 (vì không có điểm nào trùng tâm) 
Khả năng 2: Không có 2 điểm nào cùng thuộc một bán kính, lúc đó có 7 bán kính, suy ra 
hai bán kính tạo với nhau 1 góc nhỏ hơn 600. 
Giả sử hai bán kính đó chứa A và B. Vì góc AOB không là góc lớn nhất của tam giác 
OAB nên  AB max OA;OB 1  
Vậy trường hợp k=8 thỏa mãn 
Suy ra giá trị nhỏ nhất của k là 8 
O
A
B