Đề thi chọn học sinh giỏi Tỉnh môn Toán Lớp 12 GDTX - Năm học 2014-2015 - Sở Giáo dục và Đào tạo Hải Dương (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 12 GDTX CẤP THPT
NĂM HỌC 2014 – 2015
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút
Ngày thi 24 tháng 3 năm 2015
(Đề thi gồm 01 trang)
Câu I (3,0 điểm) 
Cho hàm số .
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
 2) Tìm tọa độ giao điểm của (C) và đường thẳng .
Câu II (2,0 điểm)
 1) Giải phương trình .
 2) Giải phương trình .
Câu III (1,0 điểm)
 Giải bất phương trình .
Câu IV (2,0 điểm)
 1) Tính tích phân .
 2) Trong những mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 100 (m2), người ta xây tường bao quanh các mảnh vườn đó. Tìm mảnh vườn mà chí phí xây dựng nhỏ nhất (mảnh vườn có chu vi nhỏ nhất).
Câu V (2,0 điểm)
 1) Trong hệ tọa độ Oxyz, gọi (S) là mặt cầu tâm I(-1; 2; 3) và đi qua điểm A(1; -1; 2). Viết phương trình mặt cầu (S).
 2) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, cạnh bên SB tạo với đáy góc 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
-------------------Hết-------------------
Họ và tên thí sinh:, Số báo danh:.
Chữ kí của giám thị 1:....; Chữ kí của giám thị 2:...
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 12 GDTX CẤP THPT
NĂM HỌC 2014 – 2015
MÔN THI: TOÁN
HƯỚNG DẪN CHẤM
(Đáp án gồm 04 trang)
Câu
Đáp án
Biểu điểm
I1: (2,0)
Khảo xét sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 
TXĐ: 
0,25
Chiều biên thiên
y’ = 
y’ không xác định khi x = -1
0,25
Hàm số đồng biến trên các khoảng 
Hàm số không có cực trị
0,25
 (C) có tiệm cận ngang là đường thẳng y = 2
0,25
 (C) có tiệm cận đứng là đường thẳng x = -1
0,25
Bảng biến thiên
0,25
Đồ thị
Đồ thị (C) đi qua các điểm (0; -1); (; 0)
0,5
I2: (1,0)
Tìm tọa độ giao điểm của (C) và đường thẳng .
Hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng thỏa mãn
0,25
 2x2 + 9x + 10 = 0
0,25
0,25
Vậy tọa độ giao điểm là A(-2; 5) ; B(;4)
0,25
II1: (1,0)
Giải phương trình (1)
(1) cosx + cosx + cos5x + 1 = cos5x
0,25
2cosx + 1 = 0
0,25
0,25
0,25
II2: (1,0)
Giải phương trình (1).
Điều kiện: 
(1) 
0,25
0,25
0,25
Vậy phương trình có nghiệm x = 5
0,25
III: (1,0)
Giải bất phương trình (*)
(*) (1)
0,25
Đặt t = 3x (t > 0)
Thay vào (1) ta có
0,25
 kết hợp t > 0 ta có 
0,25
Với ta có 
0,25
IV1: (1,0)
Tính tích phân .
Đặt 
0,25
0,25
0,25
0,25
IV2: (1,0)
Trong những mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 100 (m2), người ta xây tường bao quanh các mảnh vườn đó. Tìm mảnh vườn mà chí phí xây dựng nhỏ nhất (mảnh vườn có chu vi nhỏ nhất).
Mảnh vườn có chi phí xây dựng nhỏ nhất là mảnh vườn có chu vi nhỏ nhât
0,25
Gọi độ dài một cạnh mảnh vườn hình chữ nhật là x (m), x > 0
Do diện tích mảnh vườn là 100(m2) nên cạnh còn lại là (m)
Cho vi mảnh vườn là P = 2()
0,25
Theo bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân ta có nên 
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Mảnh vườn hình chữ nhật là hình vuông có cạnh 10(m)
0,25
Vậy mảnh vườn hình vuông có cạnh 10(m) là mảnh vườn có chi phí xây dựng nhỏ nhất.
0,25
V1: (1,0)
Trong hệ tọa độ Oxyz, gọi (S) là mặt cầu tâm I(-1; 2; 3) và đi qua điểm A(1; -1; 2). Viết phương trình mặt cầu (S).
Bán kính mặt cầu (S) là r = IA 
0,25
IA = 
0,25
Phương trình mặt cầu (S) là 
0,5
V2: (1,0)
Vì đều cạnh a nên 
0,25
Do SA(ABC) nên AB là hình chiếu của SB trên (ABC) 
Góc giữa SB và (ABC) bằng góc giữa SB và AB bằng 
0,25
Xét tam giác vuông SAB có SA = AB.tan600 = 
0,25
0,25