Đề thi chọn học sinh giỏi Tỉnh môn Toán Lớp 9 - Ngày thi 28-3-2010 - Năm học 2009-2010 - Phòng Giáo dục & Đào tạo Hải Dương (Có đáp án)

së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o
h¶i d­¬ng
-------------
®Ò thi chÝnh thøc
K× THI chän HäC SINH GiáI TØNH líp 9
 N¨m häc 2009-2010
M«n Thi : to¸n
Thêi gian lµm bµi: 150 phót
Ngày thi 28 tháng 3 năm 2010
(§Ò thi gåm: 01 trang)
Câu 1 (2 điểm)
a) Cho x là số thực thỏa mãn 
Tính giá trị biểu thức:	
b) Cho x; y; z là các số thực thỏa mãn 
Tính giá trị biểu thức: 
Câu 2 (2,5 điểm)
a) Giải hệ phương trình:	
b) Giải phương trình 
Câu 3 (1,5 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên dương n để là số chính phương.
Câu 4 (3 điểm)
Cho đường tròn tâm O và dây AB cố định (O không thuộc AB). P là điểm di động trên đoạn AB (P khác A, B). Qua A, P vẽ đường tròn tâm C tiếp xúc với (O) tại A. Qua B, P vẽ đường tròn tâm D tiếp xúc với (O) tại B. Hai đường tròn (C) và (D) cắt nhau tại N (khác P).
Chứng minh: 
Chứng minh: 
Chứng minh khi P di động thì N luôn nằm trên một cung tròn cố định.
Câu 5 (1 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
 (Với x; y là các số thực dương).
së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o
h¶i d­¬ng
-------------
K× THI chän HäC SINH GiáI TØNH líp 9
 N¨m häc 2009-2010
M«n Thi : to¸n
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 1 (2 đ)
a) Phương trình có 
suy ra tồn tại x thỏa mãn 
(do )
Có 
0,25
0,25
0,25
0,25
b) xyz = 2 
Từ giả thiết có 
0,25
0,5
0,25
Câu 2 (2,5 đ)
a) 
Đặt suy ra có hệ 
0,25
0,25
0,25
* 
* 
0,25
0,25
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là:
0,25
b) ĐK: 
Phương trình đã cho tương đương với:
(vì nên )
 (thỏa mãn ĐK )
Nghiệm của phương trình là 
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 3 (1,5 đ)
Xét n > 9 
Thấy là số lẻ nên A chia hết cho 29 nhưng không chia hết cho 210 nên A không là số chính phương.
Xét n = 9 là số chính phương.
0,25
0,25
Xét n < 9 
Do là số lẻ và A là số chính phương nên là số chính phương nên n là số chẵn, suy ra 
Khi đó A chính phương, chính phương suy ra 
 là số chính phương.
Nhận xét số chính phương lẻ chỉ có thể tận cùng là 1; 5; 9.
Với n = 2 (loại)
Với n = 4 , thấy B chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25 nên B không là số chính phương.
Với n = 6 (loại)
Với n = 8 (loại). Vậy n = 9.
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 4 (3 đ)
a) Có (O) và (C) tiếp xúc trong tại A nên A, C, O thẳng hàng.
Có (O) và (D) tiếp xúc trong tại B nên B, D, O thẳng hàng.
Xét (C) có 
Có tam giác ACP cân tại C; tam giác AOB cân tại O
 (1)
Chứng minh tương tự ta có:
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra (đ.p.c.m)
0,25
0,25
0,25
0,25
b) Gọi H là giao của NP và CD; I là giao của OP và CD.
Theo chứng minh ở trên ta có CP // OB; DP // CO suy ra tứ giác CPDO là hình bình hành 
suy ra IO = IP
Có (C) và (D) cắt nhau tại P và N suy ra (3) 
và HN = HP do đó HI là đường trung bình của tam giác PNO nên HI // NO hay CD // NO(4)
Từ (3) và (4) suy ra hay (đ.p.c.m)
0,25
0,25
0,25
0,25
c) Theo chứng minh phần a) có
 (5)
Lập luận để có N, O thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB (6)
Từ (5), (6) suy ra điểm N thuộc cung tròn của đường tròn ngoại tiếp tam giác AOB
Do A, B, O cố định nên N thuộc cung tròn cố định (đ.p.c.m)
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 5 (1 đ)
Đặt 
Ta chứng minh bất đẳng thức 
Có: 
Đúng với mọi x; y. Đẳng thức xảy ra khi x = y =1
 (vì x; y > 0)
0,25
0,25
Có 
0,25
Đẳng thức xảy ra 
Vậy GTNN của A là đạt được 
0,25