Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Đề 8 - Phòng GD&ĐT Hải Dương (Có đáp án)

PHÒNG GD&ĐT TP HẢI DƯƠNG
T8
ĐỀ THI HSG LỚP 9
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
( Đề này gồm 5 câu, 1 trang)
Câu 1 (2 điểm)
 a) Cho hàm số . 
Tính với .
b)Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: .
Tính giá trị của biểu thức 
Câu 2 (2 điểm)
Giải phương trình : 
 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. 
 Chứng minh : .
Câu 3 (2 điểm)
 a) Tìm tất cả các tam giác vuông có độ dài cạnh là số nguyên và số đo diện tích bằng số đo chu vi. 
b)Chứng minh biểu thức chia hết cho 210 với mọi số nguyên n.
Câu 4 (3 điểm)
Cho ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Kéo dài AO cắt đường tròn tại K.
1. Chứng minh tứ giác BHCK là hình bình hành
2. Kẻ OM BC tại M. Gọi G là trọng tâm của ABC. Chứng minh SAHG = 2SAGO
3. Chứng minh 
Câu 5 (1 điểm)
Cho ba số dương thoả mãn: 
 Chứng minh rằng: 
------------Hết----------
 Hướng dẫn chấm
PHÒNG GD&ĐT TP HẢI DƯƠNG
Mã: T-Nguyễn Tuấn Anh- VH -TPHD
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG LỚP 9
MÔN: TOÁN
(hướng dẫn chấm  gồm 6 .trang)
Câu
Đáp án
Điểm
1
(2 điểm)
a. (1 điểm)
 = 
Vậy 
0.5 đ
0,5 đ
b. (1 điểm)
b) Từ 
. 
Tương tự ta có :; 
Thay vào P ta được:
=
0.25 
0.25 
0.25 
0.25 
2
(2 điểm)
 a) (1 điểm)
điều kiện : 
Đặt = a ; = b ( a ; b 0) .
Vì ab + 4 > 0 nên :
0.25 
0.25 
0.25 
0.25 
 b)(1 điểm)
Ta có với x, y > 0 thì: (x+y)2 dấu bằng xảy ra khi x = y.
Áp dụng bất đẳng thức (*) và do a+b+c = 1 nên ta có: 
Tương tự ta có: 
. Dấu bằng xảy ra 
0.25 
0.25 
0.25 
0.25 
Câu
Đáp án
Điểm
3
(2 điểm)
a. 1 đ
+ Gọi a, b, c là số đo 3 cạnh của tam giác vuông cần tìm. Giả sử 1.
Ta có hệ phương trình : 
Từ (1) c2 = (a + b)2 − 2ab c2 = (a + b)2 − 4(a + b + c) (theo (2))
(a + b)2 − 4(a + b) = c2 + 4c(a + b)2 − 4(a + b) + 4 = c2 + 4c + 4.
(a + b − 2)2 = (c + 2)2 a + b − 2 = c + 2 (do a + b 2)
c = a + b − 4.
Thay vào (2) ta được: ab = 2(a + b + a + b − 4)
ab −4a−4b + 8 = 0 b(a −4) −4(a−4) = 8 (a −4)(b−4) = 8
Phân tích 8 = 1.8 = 2.4 nên ta có:
Từ đó ta có 2 tam giác vuông có các cạnh (5 ; 12 ; 13) và (6 ; 8 ; 10) thỏa mãn yêu cầu của bài toán.
0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ
............................
b. (1 điểm)
+....
 = 
Ta có: P là tích của 7 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 5,6,7 mà 5,6,7 là các số nguyên tố cùng nhau đôi một nên P chia hết cho 5.6.7 = 210 .
0.5 đ
0.5 đ
4
(3 điểm)
a/ (1 điểm)
Chứng minh tứ giác BHCF là hình bình hành
+ VìACK nội tiếp đường tròn (O) đường kính AK nên ACK vuông tại C
+ Suy ra KC AC
 Ta có BE AC (gt)
+ Suy ra KC // BE hay KC // BH
+ Chứng minh tương tự ta có KB // CH
+ Kết luận tứ giác BHCK là hình bình hành
0.5 đ
0.5 đ
b/ (1 điểm)
Chứng minh 3 điểm H, M, K thẳng hàng
+ Chứng minh M là trung điểm của BC 
+ Ta có tứ giác BHCK là hình bình hành (cmt). Suy ra 2 đường chéo BC và HK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
 Mà M là trung điểm của BC (cmt)
 Suy ra M cũng là trung điểm của HK
+ Suy ra 3 điểm H, M, K thẳng hàng 
0.5 đ
 Chứng minh SAHG = 2SAGO
+ Vì M là trung điểm của BC (cmt). Suy ra AM là đường trung tuyến của ABC
+ ABC có AM là đường trung tuyến, G là trọng tâm (gt)
 Suy ra G thuộc đoạn AM, AG = AM
+ Vì M là trung điểm của HK (cmt)
 Suy ra AHK có AM là đường trung tuyến. Mà G thuộc đoạn AM, AG = AM (cmt). Suy ra G là trọng tâm của AHK
+ Chứng minh HO đi qua G, HG = 2GO
+ AHG và AGO có chung đường cao kẻ từ A đến HO, HG = 2GO
Do đó SAHG = 2SAGO
0.5 đ
c/(1 điểm)
 Chứng minh 
 Ta có: 
 = = 1
0.5 đ
+ Chứng minh bài toán phụ:
Cho x > 0, y > 0, z > 0. Chứng minh rằng 
Ta có: 
(Vì với x > 0, y > 0, z > 0 thì )
Cách 2: Sử dụng ta có suy ra .
0.25 đ
+ Áp dụng kết quả bài toán trên ta có 
 . Mà (cmt)
 Do đó 
0.25 đ
Đáp án
Điểm
5
(1 điểm)
(1 điểm)
Ta có .
Suyra
 0.25 đ
Đặt 
suy ra 
0.25 đ
0.25 đ
Suy ra 0.25 đ 
-----------Hết-----------