Đề thi tuyển học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2012-2013 - Sở Giáo dục và Đào tạo Hải Dương(Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
HẢI DƯƠNG 
KÌ THI TUYỂN HỌC SINH GIỎI 
 NĂM HỌC 2012- 2013 
Môn thi: TOÁN 
Thời gian làm bài: 150 phút 
Đề thi gồm : 01 trang 
Câu I (2,0 điểm) 
1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử 
2 2 2a (b-2c)+b (c-a)+2c (a-b)+abc . 
2) Cho x, y thỏa mãn 2 23 3x y- y +1+ y+ y +1 . Tính giá trị của biểu thức 
4 3 2 2A x +x y+3x +xy- 2y +1 . 
Câu II ( 2,0 điểm) 
1) Giải phương trình 
2 4 2(x - 4x+11)(x - 8x +21) 35 . 
2) Giải hệ phương trình 
  2 2
2 2
x+ x +2012 y+ y +2012 2012
x + z - 4(y+z)+8 0






. 
Câu III (2,0 điểm) 
1) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì (n2 + n + 1) không chia hết cho 9. 
2) Xét phương trình x2 – m2x + 2m + 2 = 0 (1) (ẩn x). Tìm các giá trị nguyên 
dương của m để phương trình (1) có nghiệm nguyên. 
Câu IV (3,0 điểm) 
 Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC ngoại tiếp đường tròn tâm O. 
Gọi D, E, F lần lượt là tiếp điểm của (O) với các cạnh AB, AC, BC; BO cắt EF 
tại I. M là điểm di chuyển trên đoạn CE. 
1) Tính BIF . 
2) Gọi H là giao điểm của BM và EF. Chứng minh rằng nếu AM = AB thì tứ 
giác ABHI nội tiếp. 
3) Gọi N là giao điểm của BM với cung nhỏ EF của (O), P và Q lần lượt là 
hình chiếu của N trên các đường thẳng DE, DF. Xác định vị trí của điểm M để 
PQ lớn nhất. 
Câu V (1,0 điểm) 
Cho 3 số a, b, c thỏa mãn 0 a b c 1    . Tìm giá trị lớn nhất của biểu 
thức 
1 1 1
B (a+b+c+3) + +
a+1 b+1 c+1
 
 
 
 . 
----------------------------Hết---------------------------- 
Họ và tên thí sinhSố báo danh... 
Chữ kí của giám thị 1:  Chữ kí của giám thị 2: 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
HẢI DƯƠNG 
KÌ THI HỌC SINH GIỎI 
NĂM HỌC 2012 - 2013 
HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN (chuyên) 
Hướng dẫn chấm gồm : 03 trang 
I) HƯỚNG DẪN CHUNG. 
- Thí sinh làm bài theo cách riêng nhưng đáp ứng được yêu cầu cơ bản vẫn cho đủ 
điểm. 
- Việc chi tiết điểm số (nếu có) so với biểu điểm phải được thống nhất trong Hội 
đồng chấm. 
- Sau khi cộng điểm toàn bài, điểm lẻ đến 0,25 điểm. 
II) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM. 
Câu Nội dung Điểm 
Câu I 
(2,0đ) 
1) 1,0 điểm 2 2 2 2 2 2 a (b - 2c) +b (c - a) + 2c (a - b) + abc=2c (a - b)+ab(a-b)-c(a ) ( )b ac a b  
0,25 
2( )[2 2 ]a b c ac ab bc     0,25 
( )[2 ( ) ( )]a b c c a b a c     0,25 
( )( )( 2 )a b a c b c    0,25 
2) 1,0 điểm Có 2 23 3x = y- y + 1 y+ y + 1 
3 2 2 2 23 3 3 3x = 2y +3 y - y + 1 . y+ y + 1 y- y +1 y+ y +1
 
  
 
0,25 
3x + 3x -2y = 0 0,25 
4 3 2 2 4 2 3 2A = x + x y + 3x - 2xy + 3xy - 2y + 1 = (x +3x -2xy) +(x y+3xy - 2y ) 1
0,25 
3 3x(x +3x-2y) +y(x +3x - 2y) 1 1   0,25 
Câu II 
(1,0đ) 
1)1,0 điểm phương trình đã cho tương đương với 2 2 2( 2) 7 ( 4) 5 35x x          
(1) 
0,25 
Do 
2
2 2 2
2 2
( 2) 7 7
( 2) 7 ( 4) 5 35
( 4) 5 5
x x
x x x
x x
    
             
    
0,25 
2
2 2
( 2) 7 7
(1)
( 4) 5 5
x
x
   
 
  
0,25 
x=2 0,25 
2)1,0 điểm 
2 2
2 2
(x+ x +2012)(y+ y +2012) 2012 (1)
x + z - 4(y+z)+8=0 (2)
 


     2 2 2 2(1) 2012 2012 2012 2012 2012x x y y y y y y         
(Do 2 2012 0y y y    ) 
0,25 
   
  
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2012 2012 2012 2012 2012 2012
2012 2012
2012 2012 2012 2012
2012 2012
x x y y x x y y
x y y x
y x y x
x y
y x
           
     
     
  
  
2 22 2
2 2 2 2
2012 2012
( ) 0
2012 2012 2012 2012
y y x xy x
x y x y
y x y x
    
     
     
 Do 
2
2 2
2
2012 | |
2012 2012 0
2012 | |
y y y y
y y x x y x
x x x x
    
         
     
0,25 
 Thay y=-x vào(2) 2 2 2 24 4 8 0 ( 2) ( 2) 0x z x z x z           0,25 
 2
2
( 2) 0 2
2
2( 2) 0
x x
y x
zz
    
      
  
Vậy hệ có nghiệm (x;y;z)=(-
2;2;2). 
0,25 
Câu III 
(2,0đ) 
1)1,0 điểm Đặt A = n
2
 + n + 1 do n  n = 3k; n = 3k + 1; n = 3k + 2 (k 
 ) 
0,25 
* n = 3k => A không chia hết cho 9 (vì A không chia hết cho 3) 0,25 
* n = 3k + 1 => A = 9k
2
 + 9k + 3 không chia hết cho 9. 0,25 
* n = 3k +2 => A = 9k
2
 +9k+7 không chia hết cho 9 
Vậy với mọi số nguyên n thì A = n2 + n + 1 không chia hết cho 9. 
0,25 
2)1,0 điểm Gi¶ sö tån t¹i m * ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1, x2 
Theo vi-et:
2
1 2
1 2 2 2
x x m
x x m
  

 
 (x1 - 1) (x2 - 1) = - m
2 + 2m + 3 
0,25 
Với m * . Ta cã x1x2 4 vµ x1 + x2 1 mà x1hoÆc x2 nguyªn vµ 
2 *
1 2x x m  
*
1 2 1 2, ( 1)( 1) 0x x x x      
2m 2m 3 0 (m 1)(m 3) 0 3m          m {1;2;3}  
0,25 
Víi m = 1; m = 2 thay vµo ta thÊy ph¬ng tr×nh ®· cho v« nghiÖm. 0,25 
Víi m = 3 thay vµo ph¬ng tr×nh ta ®îc nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®· 
cho lµ x =1; x = 8 tho¶ m·n. VËy m= 3 
0,25 
Câu IV 
(2,0đ) 
1) 1,0 điểm Vẽ hình đúng theo yêu cầu chung của đề 0,25 
Gọi K là giao điểm của BO với DF => ΔIKF vuông tại K 0,25 
Có 0
1
DFE= DOE=45
2
0,25 
0BIF 45  0,25 
2) 1,0 điểm Khi AM = AB thì ΔABM vuông cân tại A => 0DBH=45 .Có 
0DFH=45 
=> Tứ giác BDHF nội tiếp 
0,25 
=> 5 điểm B, D, O, H, F cùng thuộc một đường tròn. 0,25 
=> 0BFO=BHO 90 => OH BM , mà OA BM => A, O, H 
thẳng hàng 
0,25 
0BAH=BIH 45 => Tứ giác ABHI nội tiếp. 0,25 
3) 1,0 điểm 
Có tứ giác PNQD nội tiếp = > QPN=QDN=EFN . 
Tương tự có NQP=NDP=FEN => ΔNEFvà ΔNQPđồng dạng 
0,25 
=> 
PQ NQ
= 1 PQ EF
EF NE
   
0,25 
Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi P  F; Q E => DN là đường kính 0,25 
M
H
A C
K
I
E
B
O
D
F
P
Q
N
C
B
A
O
D
E
F
M
của (O) => PQ lớn nhất bằng EF. 
Cách xác định điểm M : Kẻ đường kính DN của (O), BN cắt AC tại 
M thì PQ lớn nhất. 
0,25 
Câu V 
(1,0đ) 
Đặt x=1+c, y=1+b, z=1+a do 0 a b c 1    = >1 z yx2 
 Khi đó A= (x+y+z)(
1 1 1
x y z
  )=3+3
x x y y z z
y z x z x y
      
0,25 
.
1 1 0 1 0 1
.
.
1 1 0 1 0 1
.
2 2 2
x y x y x y x y x
y z y z y z y z z
z y z y z y z y z
y x y x y x y x x
x y z y x z x x y y z z x z
y z y x z x y z x z x y z x
  
             
  
  
             
  
 
                
 
0,25 
Đặt 
x
z
= t =>1 2t  
2 21 1 2 5 2 5 (2 1)( 2) 5
2 2 2 2
x z t t t t t
t
z x t t t t
    
        
Do 1 2t  
(2 1)( 2)
2
t t
t
 
0 
x z
z x

5
2
 
A 
5
3 2. 2 10
2
    
0,25 
Ta thấy khi a=b=0 và c=1 thì A=10 nên giá trị lớn nhất của A là 10 0,25