Đề thi tuyển sinh môn Toán (Chuyên) vào Lớp 10 THPT chuyên Nguyễn Trãi - Năm học 2015-2016 - Sở Giáo dục và Đào tạo Hải Dương (Có đáp án)

Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com 
SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
HẢI DƯƠNG 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT 
CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2015 - 2016 
Môn thi: TOÁN (Chuyên) 
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề 
(Đề thi gồm: 01 trang) 
Câu I (2,0 điểm) 
1) Cho 29 12 5 2 5a b    . Tính giá trị của biểu thức: 
2 2( 1) ( 1) 11 2015A a a b b ab      
2) Cho ,x y là hai số thực thỏa mãn 2 2(1 )(1 ) 1.xy x y    
Chứng minh rằng 2 21 1 0.x y y x    
Câu II (2,0 điểm) 
1) Giải phương trình 22 3 4 9 2 2 2 4 1.x x x x x        
2) Giải hệ phương trình
2 2
2
2 5 2 2 1 3 3
1 4 5 2 2
x y xy x y y x x
x y x y x y
          

       
Câu III (2,0 điểm) 
1) Tìm các số nguyên ,x y thỏa mãn 4 2 2 20 0.x x y y     
2) Tìm các số nguyên k để 4 3 28 23 26 10k k k k    là số chính phương. 
Câu IV (3,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) và dây BC cố định không đi qua tâm. Trên tia đối của tia BC lấy 
điểm A (A khác B). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM và AN với đường tròn (O) (M và N là các tiếp điểm). Gọi I là 
trung điểm của BC. 
1) Chứng minh A, O, M, N, I cùng thuộc một đường tròn và IA là tia phân giác của góc MIN 
2) Gọi K là giao điểm của MN và BC. Chứng minh 
2 1 1
.
AK AB AC
  
3) Đường thẳng qua M và vuông góc với đường thẳng ON cắt (O) tại điểm thứ hai là P. Xác định vị trí của điểm 
A trên tia đối của tia BC để AMPN là hình bình hành. 
Câu V (1,0 điểm) Cho ,a b là các số dương thỏa mãn điều kiện 3( ) 4 12.a b ab   
Chứng minh bất đẳng thức 
1 1
2015 2016.
1 1
ab
a b
  
 
---------------------------Hết---------------------------- 
Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com 
SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt 
Câu I (2,0 điểm) 
1) Cho 29 12 5 2 5a b    . Tính giá trị của biểu thức: 
2 2( 1) ( 1) 11 2015A a a b b ab      
 
2
3 3 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
29 12 5 2 5 3 2 5 2 5 3
11 2015
( )( ) 11 2015
3( ) 11 2015
4( 2 ) 2015 4( ) 2015 2051
a b
A a b a b ab
a b a b ab a b ab
a b ab a b ab
a ab b a b
       
     
       
      
       
2) Cho ,x y là hai số thực thỏa mãn 2 2(1 )(1 ) 1.xy x y    
Chứng minh rằng 2 21 1 0.x y y x    
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
(1 )(1 ) 1 (1 ) (1 ) 1
(1 )(1 ) (1 )
1 1 2
2 0 ( ) 0
1 1 1 1 0
xy x y x y xy
x y xy
x y x y xy x y
x y xy x y y x
x y y x x x x x
        
    
      
         
        
Câu II (2,0 điểm) 
1) Giải phương trình 22 3 4 9 2 2 2 4 1.x x x x x        
Pt 2 3 ( 2)(4 1) 2 2 4 1.x x x x x        ĐK:
1
4
x   
Đặt
2
2 98 4 ( 2)(4 1) 9 2 ( 2)(4 1)
4
t
t x x x x x x

          
PTTT 2 4 3 0 1t t t     hoặc t = 3 
TH1. t = 1 giải ra vô nghiệm hoặc kết hợp với ĐK 7t  bị loại 
TH 2. 3 2 2 4 1 3.t x x      Giải pt tìm được
2
9
x   (TM) 
Vậy pt có nghiệm duy nhất
2
9
x   
2) Giải hệ phương trình
2 2
2
2 5 2 2 1 3 3
1 4 5 2 2
x y xy x y y x x
x y x y x y
          

       
ĐK: 2 1 0,4 5 0, 2 2 0, 1y x x y x y x          
TH 1.
0 02 1 0 1
3 3 0 1 1 10 1
y x x
x y
     
   
       
 (Không TM hệ) 
TH 2. 1, 1x y  Đưa pt thứ nhất về dạng tích ta được 
2
( 2)(2 1)
2 1 3 3
x y
x y x y
y x x
 
    
   
Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com 
SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt 
1
( 2) 2 1 0
2 1 3 3
x y y x
y x x
 
      
     
 . Do 2 1 0y x   
nên
1
2 1 0 2 0
2 1 3 3
y x x y
y x x
       
   
Thay 2y x  vào pt thứ 2 ta được 2 3 3 7 2x x x x      
2 2 3 7 1 2 2
3 6 2
( 2)( 1)
3 7 1 2 2
3 1
( 2) 1 0
3 7 1 2 2
x x x x
x x
x x
x x
x x
x x
        
 
    
   
 
      
    
Do 1x  nên
3 1
1 0
3 7 1 2 2
x
x x
   
   
Vậy 2 0 2 4x x y       (TMĐK) 
Câu III (2,0 điểm) 
1) Tìm các số nguyên ,x y thỏa mãn 4 2 2 20 0.x x y y     (1) 
Ta có (1)  4 2 220x x y y    
Ta thấy 4 2 4 2 4 2 220 20 8x x x x x x x        
 2 2 2 2( 1) ( 1) ( 4)( 5)x x y y x x      
Vì x, y ∈ nên ta xét các trường hợp sau 
+ TH1. 2 2 4 2 4 2( 1) ( 1)( 2) 20 3 2y y x x x x x x          
2 22 18 9 3x x x      
Với 2 9x  , ta có 2 2 29 9 20 110 0y y y y        
10; 11( . )y y t m    
+ TH2. 2 2 4 2 4 2( 1) ( 2)( 3) 20 5 6y y x x x x x x          
2 2 74 14
2
x x    (loại) 
+ TH3. 2 2 2 2
4
( 1) ( 3)( 4) 6 8
3
y y x x x x        (loại) 
+ TH4. 2 2 2 2( 1) ( 4)( 5) 8 0 0 0y y x x x x x          
Với 2 0x  , ta có 2 220 20 0 5; 4y y y y y y          
Vậy PT đã cho có nghiệm nguyên (x;y) là : 
(3;10), (3;-11), (-3; 10), (-3;-11), (0; -5), (0;4). 
2) Tìm các số nguyên k để 4 3 28 23 26 10k k k k    là số chính phương. 
Đặt 4 3 28 23 26 10M k k k k     
Ta có 4 2 2 2( 2 1) 8 ( 2 1) 9 18 9M k k k k k k k         
2 2 2 2 2 2( 1) 8 ( 1) 9( 1) ( 1) . ( 3) 1k k k k k k            
M là số chính phương khi và chỉ khi 2( 1) 0k   hoặc 2( 3) 1k   là số chính phương. 
TH 1. 2( 1) 0 1.k k    
Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com 
SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt 
TH 2. 2( 3) 1k   là số chính phương, đặt 2 2( 3) 1 ( )k m m    
2 2( 3) 1 ( 3)( 3) 1m k m k m k          
Vì , 3 , 3m k m k m k        nên 
3 1
3 1
m k
m k
  

  
 hoặc
3 1 1, 3
3
3 1 1, 3
m k m k
k
m k m k
      
          
Vậy k = 1 hoặc k = 3 thì 4 3 28 23 26 10k k k k    là số chính phương 
Câu IV (3,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) và dây BC cố định không đi qua tâm. Trên tia đối của tia BC lấy 
điểm A (A khác B). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM và AN với đường tròn (O) (M và N là các tiếp điểm). Gọi I là 
trung điểm của BC. 
1) Chứng minh A, O, M, N, I cùng thuộc một đường tròn và IA là tia phân giác của góc MIN 
Theo giả thiết AMO = ANO = AIO = 90o = > 5 điểm A, O, M, N, I thuộc đường tròn đường kính AO 0,25 
=> AIN = AMN, AIM = ANM (Góc nội tiếp cùng chắn một cung) 
AM = AN => ∆AMN cân tại A => AMN = ANM 
=> AIN = AIM => đpcm 
2) Gọi K là giao điểm của MN và BC. Chứng minh 
2 1 1
.
AK AB AC
  
2 1 1
2 . ( ) . .AB AC AK AB AC AB AC AK AI
AK AB AC
       
(Do AB+ AC = 2AI) 
∆ABN đồng dạng với ∆ANC => AB.AC = AN2 
∆AHK đồng dạng với ∆AIO => AK.AI = AH.AO 
Tam giác ∆AMO vuông tại M có đường cao MH => AH.AO = AM2 
=> AK.AI = AM
2
 . Do AN = AM => AB.AC = AK.AI 
3) Đường thẳng qua M và vuông góc với đường thẳng ON cắt (O) tại điểm thứ hai là P. Xác định vị trí của điểm 
A trên tia đối của tia BC để AMPN là hình bình hành. 
Ta có AN  NO, MP NO, M AN => AN // MP 
Do đó AMPN là hình bình hành  AN = MP = 2x 
Tam giác ∆ANO đồng dạng với ∆NEM => 
22AN NO x
NE
NE EM R
   
TH 1.NE = NO – OE => 
2
2 2 2 2 2 22 2
x
R R x x R R R x
R
       
Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com 
SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt 
Đặt 2 2 2 2 2, 0 .R x t t x R t      
PTTT 2 2 2 2 2
2
2( ) R 2 0
t R
R t R t t Rt R
t R
 
         
Do 2 20 0t t R R x R x A B          (loại) 
TH 2 NE = NO + OE => 
2
2 2 2 2 2 22 2
x
R R x x R R R x
R
       
Đặt 2 2 2 2 2, 0 .R x t t x R t      
PTTT 2 2 2 2 2
2
2( ) 2 0
t R
R t R Rt t Rt R
t R

          
Do 2 2
3
0 2 2 2
2
R
t t R R x R x AO R          (loại) 
Vậy A thuộc BC, cách O một đoạn bằng 2R thì AMPN là hbh 
Câu V (1,0 điểm) Cho ,a b là các số dương thỏa mãn điều kiện 3( ) 4 12.a b ab   
Chứng minh bất đẳng thức 
1 1
2015 2016.
1 1
ab
a b
  
 
Ta có  
3
312 ( ) 4 2 4a b ab ab ab     . Đặt , 0t ab t  thì 
3 2 3 2 212 8 4 2 3 0 ( 1)(2 3 3) 0t t t t t t t           
Do 22 3 3 0,t t t    nên 1 0 1t t    . Vậy0 1ab  
Chứng minh được
1 1 2
, , 0
1 1 1
a b
a b ab
   
  
 thỏa mãn 1ab  
Thật vậy, BĐT
1 1 1 1
0
1 11 1a bab ab
   
  
0
1 1(1 )(1 ) (1 )(1 ) 1
ab a ab b b a a b
a ba ab b ab ab
    
              
2( ) ( 1)
0.
(1 )(1 )(1 )
b a ab
ab a b
 
 
  
 Do 0 1ab  nên BĐT này đúng 
Tiếp theo ta sẽ CM
2
2015 2016, , 0
1
ab a b
ab
   

 thỏa mãn 1ab  
Đặt ,0t ab t t   ta được 2
2
2015 2016
1
t
t
 

3 22015 2015 2016 2014 0t t t    
2( 1)(2015 4030 2014) 0.t t t     BĐT này đúng : 0 1t t   
Vậy
1 1
2015 2016.
1 1
ab
a b
  
 
 Đẳng thức xảy ra a = b = 1