Giáo án Hình học 10 - Trường THPT Tân Hiệp - Tiết 21, 22: Hệ thức lượng trong tam giác

 Ngày soạn	Tiết 21 - 22 :	
TÊN BÀI : &3. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
I/ MỤC TIÊU :
Kiến thức : Giúp học sinh :	
+ Hiểu định lý cosin, định lý sin, công thức về độ dài đường trung tuyến trong một tam giác .
+ Biết một số công thức tính diện tích tam giác .
+ Biết giải tam giác và thực hành đo đạc trong thực tế .
Kỹ năng : Giúp học sinh :
+ Aùp dụng được định lý cosin, định lý sin , công thức về độ dài đường trung tuyến , các công thức tính diện tích để giải một số bài toán liên quan đến tam giác .
+ Biết giải tam giác trong một số trường hợp đơn giản.
+ Biết vận dụng kiến thức giải tam giác vào các bài toán thực tế . Kết hợp với việc sử dụng máy tính bỏ túi .
II/ CHUẨN BỊ :
	+ GV: Phiếu học tập, các bảng phụ .
	+ HS: SGK, ôn tập kiến thức về hệ thức lượng trong tam giác vuông .
III. KIỂM TRA BÀI CŨõ : .
	Cho tamgiác ABC :
	Câu hỏi 1 : Phân tích theo hai vectơ và .
	Câu hỏi 2 : Tính bình phương vô hướng 2 .
IV.HOẠT ĐỘNG DẠY VÀ HỌC :
HĐ1 : Gợi mở vấn đề 
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
Nội dung 
HĐ1 : Gợi mở vấn đề 
Trong tam giác ABC vuông tại A ta có :
a2 = b2 + c2 . Vậy trong một tam giác bất kỳ liệu có một hệ thức nào liên hệ giữa các cạnh hay không ?
BC2 = AB2 + AC2 .	
VT: 
=
+ D ABC vuông tại A
=> 
=> BC2 = AB2 + AC2 .
Học sinh phát biểu định lý Pytago
Học sinh khai triển hằng đẳng thức 
HĐ2 : Phát hiện và phát biểu , chứng minh định lý cosin : 
+ D ABC bất kỳ 
BC2 = AB2 + AC2 – 2AB.AC.cosA
=> định lý côsin .
GV: Hãy tính góc A của tam giác ABC khi biết độ dài 3 cạnh .
HĐ3 : Cũng cố định lý 
+ GV vẽ hình , phân tích 
- Khoảng cách giữa hai tàu sau hai giờ là độ dài nào của tg ABC .
- Công thức tính độ dài BC ?
+ Trong tg ABC , các em đã biết các yếu tố nào ? 
+ Công thức tính cosin góc B theo độ dài 3 cạnh .
+ GV hướng dẫn HS tínhgóc B bằng MTBT ,
Hs phát biểu điều kiện để hai vectơ vuông góc .
Hs phát biểu Định nghĩa tích vô hướng của hai véc tơ .
Học sinh phát biểu định lý hs cosin .
Hs biến đổi định lý cosin để tính cosA .
Độ dài BC 
BC2 = .
Độ dài ba cạnh 
cosB = . . . 
1.Định lý côsin :
a) Định lý côsin :
Trong tam giác ABC với BC = a, 
CA = b , AB = c, ta có :
	a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA .
	b2 =
	c2 =
b) Hệ quả : Công thức tính góc khi biết ba cạnh :
	 .
	cosB = 
	cosC =
Ví dụ 1 : Hai chiếc tàu thủy cùng xuất phát từ một vị trí A, đi thẳng hai hướng tạo với nhau góc 600 . Tàu B chạy với tốc độ 30 hải lý một giờ . Tàu C chạy với tốc độ 20 hải lý một giờ . Sau 2 giờ, hai tàu cách nhau bao nhiêu hải lý ( 1 hải lý 1, 852 km) .
Ví dụ 2: Các cạnh của tam giác ABC là a= 7, b = 24 và c= 23 . Tính góc B .
HĐ4 : Aùp dụng định lý cosin để tính độ dài trung tuyến trong tam giác .
GV đọc đề bài toán , cho các nhóm tính các độ dài ma, mb, mc .
GV vẽ hình, gợi ý hs giải .
+ Xét tg MPQ , đặt PQ = a, I là trung điểm PQ . Ta có :
MP2 + MQ2 = 2MI2 + PQ2 /2 
=> MI2 = .
+ Gợi ý hs biện luận :
k2 < a2/2 
k2 = a2/2 
k2 > a2/2 
+ Để tính ma, hs áp dụng định lý cosin cho tam giác ABM.
Hs lên bảng tính .
HS áp dụng hệ quả :
NX : I là điểm cố định 
=> tập rỗng
=> M trùng I
=> Tập hợp là đường tròn tâm I , bán kính ?
2) Công thức tính độ dài đường trung tuyến trong tam giác :
	Cho tam giác ABC, gọi ma, mb, mc là độ dài các đường trung tuyến lần lượt vẽ từ các đỉnh A, B, C . Ta có :
	mb2 =
	mc2 =
Hệ quả : Cho tam giác ABC , gọi I là trung điểm BC , ta có :
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có a= 7 cm
 b = 8 cm và c = 6 cm . Tính độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A .
Ví dụ 2 : Cho hai điểm P, Q . Tìm tập hợp điểm M sao cho MP2 + MQ2 = k2 , trong đó k là số cho trước .
HĐ5 : Gợi vấn đề phát hiện định lý sin .
+ GV : Cho bài toán 
Cho D ABC vuông tại A nội tiiếp trong đường tròn bán kính R .Cho hs tính 
sinB = 
sinC = 
Suy ra : 
với a = 2R .
+ GV gợïi vấn đề :
Nếu tam giác ABC không vuông có góc A nhọn hoặc góc A tù thì đẳng thức trên còn đúng không ?
Hs tính
sinB = AC/BC
sinC= AB/BC
với BC = 2R
=>
vì A = 900 =>sinA=1
=> a/sinA = a = 2R .
HĐ6 : Phát hiện, chứng minh định lý sin .
+ Xét trường hợp A nhọn :
Để tính được tỷ số lượng giác sin a , ta cần vẽ thêm đường kínhï để làm xuất hiện tg vuông .
+ Tương tự góc A tù 
GV yêu cầu học sinh phát biểu định lý sin .
Học sinh : Vẽ đường kính qua B ( hoặc qua C) , từ đó tính sinA .
Hs Chứng minh tương tự .
3. Định lý sin :
Với mọi tam giác ABC với BC = a, 
CA = b , AB = c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác, ta có 
HĐ7 :Cũng cố định lý sin .
+ GV : áp dụng đẳng thức nào để tính góc B , cạnh c, bán kính R ?
+ GV vẽ hình và phân tích 
+ Để tính chiều cao CH, em cần tính thêm độ dài nào ? 
+ Xét tam giác nào để tính độ dài AC ? 
+ Tg ABC đã biết các yếu tố nào ? 
+ Aùp dụng công thức nào để tính cạnh b = AC .
+ Xét tg ACH để tính CH 
Hs phát biểu .
 => sinB , sử dụng MTBT tính B .
+ Độ dài cạnh AC .
+ D ABC .
+ A = 600 , B= 105030’
C = 14030’ , cạnh 
 c = AB = 20 .
 => b 
CH = AC. Sin300 .
Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC biết 
a= , b = 2 và A= 600 . Tính góc B, cạnh c , bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
Ví dụ 2 : Từ hai vị trí A, B của một tòa nhà , người ta quan sát đỉnh C của ngọn núi . Biết chiều cao AB = 20 m , phương nhìn AC và phương nhìn BC tạo với phương nằm ngang các góc 300 và 15030 ‘ . Hỏi ngọn núi cao bao nhiêu mét so với mặt đất .
Hoạt động GV
Hoạt động HS
Nội dung
HĐ1: Giúp HS nắm được các công thức tính diện tích tam giác .
 * Hãy viết các công thức tính diện tích tam giác theo một cạnh và đường cao tương ứng ?
 * Cho hs nêu các ct tính diện tích tam giác 
* GV vẽ hình và hỏi : Xét AHC vuông tại H , 
 ta có : =AH = ?
* Cho các nhóm thảo luận để chm công thức (2) 
* Từ ct (1): S =ab sin C làm sao chm ct (2)
 * Thế sinC vào ct (1) ta được gì ? 
* Cho các nhóm thảo luận để chm công thức (3)
GV vẽ hình và hỏi:
- Kh cách từ tâm O đến 3 cạnh thế nào ? 
- S bằng tổng diện tích 3 tam giác nào ?
- SOBC = ? , SOCA = ? , 
 SOAB = ? 
GV nêu ví dụ 1 và cho các nhóm giải trên bảng con
* Để tính diện tích tam giác khi biết trước 3 cạnh ta ad công thức nào ? 
* Để tính bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp ta ad công thức nào ?
* Các nhóm đem gắn KQ lên bảng lớn 
GV cho các nhóm nhận xét , sửa chửa bổ sung và đánh giá các nhóm 
 GV nêu ví dụ 2 
Cho các nhóm thảo luận và ghi lời giải ra bảng con 
GV vẽ hình và hỏi :
- Để tính c ta ad công thức nào? 
- Để tính góc A ta da công thức nào ? 
- Để tính diện tích ABC ad ct nào ? 
Cho các nhóm gắn lời giải lên bảng lớn
Cho các nhóm nx , Gv chỉnh lí và đánh giá 
HĐ2: Giúp HS biết cách ad các hệ thức trong để giải tam giác .
GV nêu ví dụ 1 
Cho các nhóm thảo luận và ghi lời giải trên bảng con
- Để tính ta ad gì ?
- Để tính b,c ta ad gì ?
Þ a = ? , c = ?
Hd thêm cách sử dụng MTBT 
61 , 0‘“, 30 , 0‘“
Cho các nhóm gắn lời giải lên bảng lớn
Cho các nhóm nx , Gv chỉnh lí và đánh giá
GV nêu ví dụ 2
Cho các nhóm thảo luận và ghi lời giải trên bảng con
- Tính cạnh b ta ad ct nào ?
- Để tính ta ad ct nào ?
- Để tính ta làm sao ?
Cho các nhóm gắn lời giải lên bảng lớn
Cho các nhóm nx , Gv chỉnh lí và đánh giá
GV nêu ví dụ 3
Cho các nhóm thảo luận và ghi lời giải trên bảng con
- Để tính diện tích của 
ABC ta ad ct nào ?
- Để tính sinA ta cần tính gì
- Để tính r ta ad ct nào ?
GV nêu bài toán 1 và hình vẽ 
- Để tính CD ta cần biết độ dài cạnh AD hoặc BD
- Làm sao ta tính được cạnh AD , ta xét nào ? 
Trong ABD ta đã biết được 1 cạnh và 2 góc nào ?
- Do đó để tính AD ta ad gì ?
- Khi biết AD làm sao tính CD ?
Cho các nhóm gắn lời giải lên bảng lớn
Cho các nhóm nx , Gv chỉnh lí và đánh giá
GV nêu bài toán 2
Cho các nhóm thảo luận và ghi lời giải trên bảng con
 GV nêu hình vẽ và hỏi 
- Để đo khoảng cách AC ta xét ABC có gì ? 
- = ?
- Tương tự như bài toán 1 , để tính AC ta ad gì ?
Gọi các nhóm gắn lời giải trên bảng lớn 
Cho các nhóm nhận xét , chỉnh lí và đánh giá các lời giải .
S = a.ha = b.hb =c.hc 
 = AH=ACsin C = bsin C (kể cả nhọn,tù hay vuông) 
Ad : sinC = 
S = 
Đều bằng r 
OAB, OBC, OCA
ar , br , cr 
công thức Hê-rông
S=p.r Þ r= 
S= Þ R=
định lí côsin : -2abcos C 
định lí cosin cosA = 
S= absinC
 + + = 1800 
định lí sin 
định lí côsin
coasA = 
 = 1800 -( +)
Ct Hê- rông hoặc 
Ct S = bcsinA
S=pr Þ r = 
AB = 24m, 
=1800 -a =117 
Định lí sin
Ad tỉ số luợng giác trong vuông ACD 
CD= ADsinα 
AB = 42 m, 
1800 -(α + ) 
Định lí sin 
4) Công thức tính diện tích tam giác
 Cho tam giác ABC có các cạnh BC=a, CA=b, AB=c. Gọi R và r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp,nội tiếp tam giác và , , là các đường cao của tam giác ABC lần lượt vẽ từ các đỉnh A,B,C .
 Diện tích S của tam giác ABC được tính theo một trong các công thức sau : 
 (1) S = aha = b.hb = c.hc 
(2) S =ab sin C = bc sin A = 
	=ca sin B;
 (3) S = ;
 (4) S = pr;
 (5) S = 
 (công thức Hê-rông)
Chứng minh 
* Ta đã biết S = a 
 với = AH=ACsin C = bsin C (kể cả nhọn,tù hay vuông) 
 Do đó S = absin C
 Các công thức S = ca sin B và
 S = bc sin A được Chứng minh tương tự .
b) Ta có ct S =ab sin C 
 theo định lí sin sinC = 
 Þ S = ( đpcm)
c) Chứng minh công thức S = pr 
 Ta có khoảng cách từ tâm O đến 3 cạnh bằng nhau 
Do đó : S = SOBC + SOCA + SOAB 
 = ar + br + cr
 = ( a+b+c).r = p.r
 Với p = (a+b+c) 
d) Công thức Hê-rông có chứng minh trong SGK trang 60
Ví dụ 1. Tam giác ABC có các cạnh 
a = 5 m, b = 6 m và c = 7 m.
a) Tính diện tích tam giác ABC ;
b) Tính bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC.
GIẢI
a) Ta có p = (5 + 6 + 7) = 9.
 Theo công thức Hê-rông ta có :
S = = 6 (m2 ) 
b) Áp dụng công thức S = pr 
 Þ r = = = (m)
 Từ công thức S = .
 Þ R = = = (m).
Ví dụ 2. Tam giác ABC có cạnh 
a =8 , b = 5 và = 600 . Tính cạnh c, góc A và diện tích tam giác đó.
GIẢI
* Theo định lí côsin ta có
 - 2abcos C 
 = 64 + 25 -2.8.5.cos600 = 49
 Þ c = 7
 * cosA = = 1/7
 Þ A » 810 47’12”
* Ta có S= absinC 
= .8.5.sin600 = 10 (đơn vị diện tích).
5.Giải tam giác và ứng dụng thực tế
a) Giải tam giác
 Giải tam giác là tìm một số yếu tố của tam giác khi cho biết các yếu tố khác.
Muốn giải tam giác ta thường sử dụng các hệ thức đã được nêu lên trong định lí côsin, định lí sin và các công thức tính diện tích tam giác.
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC biết cạnh 
b = 15,4 m ; và .Tính góc và các cạnh a,c.
GIẢI Ta có = 1800 -( )= 610 30’
Theo định lí sin ta có .
Do đóù 
 » 15,75 m
 » 14,27 m	
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có cạnh 
a=19,4 cm, c = 16,4cm và . Tính cạnh b, và 
GIẢI
Theo định lí côsin ta có
 Þ b » 14,63 cm
cosA = » 0.2222 Þ A » 770 9’27”
 = 1800 - ( + ) » 550 30’33”
Ví dụ 3. Cho tam giác ABC có cạnh a = 24 cm, b= 13 cm và c = 15 cm . Tính các góc A,B,C
GIẢI
Theo định lí côsin ta có
= - 
Þ » 1170 49’	
 = Þ » 280 38’
 = 1800 - ( + ) = 330 33’
b) Ứng dụng vào việc đo đạc
Bài toán 1. Đo chiều cao của một cái tháp mà không thể đến được chân tháp.Giả sử CD= h là chiều cao của tháp trong đó C là chân tháp. Chọn 2 điểm A,B trên mặt đất sao cho 3 điểm A,B và C thẳng hàng. Ta đo khoảng cách AB và các góc Chẳng hạn ta đo được AB = 32m, = a = 680 , Khi đó chiều cao h của tháp được tính như sau:
 Áp dụng định lí sin vào tam giác ABD ta có
Ta có nên 
Do đó AD = 51,64
Trong tam giác vuông ACD ta có 
 h = CD = AD sin α » 47,88 (m).
Bài toán 2. Tính khoảng cách từ một điểm trên bờ sông đến một gốc cây trên một cù lao ở giữa sông
Để đo khoảng cách từ một điểm A trên bờ sông đến gốc cây C trên cù lao giữa sông,người ta chọn một điểm B cùng ở trên bờ với A sao cho từ A và B có thể nhìn thấy điểm C. Ta đo khoảng cách AB,góc và . Chẳng hạn ta đo được AB = 42 m, 
Khi đó khoảng cách AC được tính như sau:
Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC,ta có
	 (h.2.22)
Vì sinC = sin ( nên
Vậy AC » 35,17 m
VI.CỦNG CỐ:
Nhắc lại định lí cossin, định lí sin và định lí tính độ dài trung tuyến 
Nhắc lại công thức tính diện tích tam giác 
Một tam giác khi biết 2 cạnh b,c và góc kề A thì làm sao tính a, B,C
Một tam giác khi biết 1 cạnh a và 2 góc kề B,C thì làm sao tính A,b,c 
Một tam giác khi biết 3 cạnh a,b,c thì làm sao tính A, B,C
V. HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ : làm BT trang 59 , hd thêm ở bài 10,11