Kỷ yếu trại hè Hùng Vương lần thứ IV - 2008

lt; cosh (∗2)Sup f(z).
Dễ thấy f(z) liên tục và nghịch biến trên (∗2) nên cosh (∗2)Sup f(z) = f(1) = 1. Vậy
m < 1 là các giá trị cần tìm.
Bài tập tương tự
1. Cho x2 + y2 = 1; u2 + v2 = 1. Chứng minh rằng
|xu+ yv| 6 1
2. Cho y = x4 − x2 + 1
8
. 1) Chứng minh rằng |y| 6 1
8
với mọi x ∈ [−1; 1]. 2) Chứng
minh rằng phương trình:
x4 − x2 + 1
8
= 0
có bốn nghiệm phân biệt x ∈ [−1; 1].
3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
y =
1 + x4
(1 + x2)2
4. Cho ab; bc; ca cùng 6= −1. Chứng minh rằng
a− b
1 + ab
+
b− c
1 + bc
+
c− a
1 + ca
=
a− b
1 + ab
.
b− c
1 + bc
.
c− a
1 + ca
4.6. Phương pháp Lượng giác 105
5. Cho a, b, c > 0; a > c; b > c. Chứng minh rằng√
c(a− c) +
√
c(b− c) 6
√
ab
6. Cho 0 < x, y, z < 1 và xy + yz + zx = 1. Chứng minh rằng:
x
1− x2 +
y
1− y2 +
z
1− z2 >
3
√
3
2
7. Chứng minh rằng với mọi x ∈ (−1; 1) và n > 2, ta luôn có:
(1 + x)n + (1− x)n < 2
8. Chứng minh rằng với mọi a, b ∈ R, ta luôn có:
−1
2
6 (a+ b)(1− ab)
(1 + a2)(1 + b2)
6 1
2
9. Cho a, b, c > 0 và abc+ a+ c = b. Tìm MaxP với:
P =
2
a2 + 1
− 2
b2 + 1
+
3
c2 + 1
10. Cho dãy số (xn) xác định như sau:
x1 =
1
2
; xn+1 =
√
1−√1− x2n
2
Chứng minh rằng:
xk + xk+1 + xk+2 + · · ·+ xk+l < 1, 03
với mọi k, l ∈ N∗
11. Tìm a để phương trình : x+
√
1− x2 = a có nghiệm.
12. Giải và biện luận:
√
a+ x+
√
a− x = x.
13. Tìm nghiệm của hệ:

x2 + y2 = 4
z2 + t2 = 9
xt+ yz > 6
với x+ z lớn nhất.
14. Giải phương trình: x2 + (
x
x− 1)
2 = 1.
15. Giải hệ: 3(x+
1
x
) = 4(y +
1
y
) = 5(z +
1
z
)
xy + yz + zx = 1
4.6. Phương pháp Lượng giác 106
16. Cho y = |x|(4x2 +m). Tìm m để |y| 6 1 với mọi x; |x| 6 1.
17. Cho A,B,C là ba góc của một tam giác. Chứng minh rằng:
1 + cosA. cosB. cosC >
√
3 sinA. sinB. sinC
18. Giải hệ: {√
2(x− y)(1 + 4xy) = √3
x2 + y2 = 1
19. Cho dãy {un} xác định như sau:
u1 =
√
2
un+1 =
un +
√
2− 1
(1−√2)un + 1
(n > 1)
Hãy tính u2004
20. Cho 0 < x1 < y1. Hai dãy {xn}; {yn} xác định như sau:xn+1 =
xn + yn
2
yn+1 =
√
xn+1yn
(n > 1)
Chứng minh rằng Lim
n→+∞
xn = Lim
n→+∞
yn. Hãy tìm giới hạn đó.
21. Cho dãy {xk}nk=0 thoả mãn:{
x0 = 0; n = 50.000
xk+1 = xk +
1
30.000
√
1− x2k (k ∈ 0;n− 1)
Bất đẳng thức xn 6 1 đúng hay sai?.
22. Cho dãy các hàm số {Tn(x)} được xác định như sau:
T1(x) = x
T2(x) = 2x
2 − 1
Tn+1(x) = 2xTn(x)− Tn−1(x) (n > 2)
Chứng minh rằng: 1) Nếu |x| 6 1 thì |Tn(x)| 6 1 với mọi n ∈ N∗. 2) Phương trình
Tn(x) = 0 có đúng n nghiệm phân biệt và các nghiệm đó đều ∈ [−1; 1]. 3) Tìm tất
cả các giá trị của x để |Tn(x)| = 1.
23. Chứng minh rằng với a, b > 0, ta luôn có:√
a+
√
b =
√
a+
√
a2 − b
2
+
√
a+
√
a2 − b
2
4.6. Phương pháp Lượng giác 107
24. Chứng minh rằng với a > c; b > c; c > 0 ta luôn có:√
(a+ c)(b+ c) +
√
(a− c)(b− c) 6 2
√
ab
25. Rút gọn biểu thức:
T =
√
a−√4(a− 1) +√a+√4(a− 1)√
a2 − 4(a− 1)
26. Chứng minh rằng với a > |b|, ta luôn có
√
2b
2a+
√
a2 − b2√
a+
√
a2 − b2
=
√
(a+ b)3 −
√
(a− b)3
27. Giải phương trình:√
4 +
√
16− x
2
+
√
4−√16− x
2
=
√
4 +
√
x+
√
16− x
28. Cho xyz 6= 0; xy + yz + zx = 1. Chứng minh rằng
(x− 1
x
)(y − 1
y
) + (y − 1
y
)(z − 1
z
) + (z − 1
z
)(x− 1
x
) = 4
29. Cho x; y; z 6= ±
√
3
3
; x+ y + z = xyz. Chứng minh rằng
3x− x3
1− 3x2 +
3y − y3
1− 3y2 +
3z − z3
1− 3z2 =
3x− x3
1− 3x2 .
3y − y3
1− 3y2 .
3z − z3
1− 3z2
30. Cho xyz 6= 0; x+ y + z − xyz = 1− xy − yz − zx. Chứng minh rằng
1− x2
x
+
1− y2
y
+
1− z2
z
=
1
4
.
1− x2
x
.
1− y2
y
.
1− z2
z
31. Cho x1;x2;x3 là các nghiệm của phương trình
x3 + ax2 + x+ b = 0
Chứng minh rằng
(x1 − 1
x1
)(x2 − 1
x2
) + (x2 − 1
x2
)(x3 − 1
x3
) + (x3 − 1
x3
)(x1 − 1
x1
) = 4
4.6. Phương pháp Lượng giác 108
32. Cho x; y;x 6= 1 thoả mãn:
1 + x
1− x +
1 + y
1− y +
1 + z
1− z =
1 + x
1− x.
1 + y
1− y .
1 + z
1− z
Chứng minh rằng
a) x+ y + z − xyz = xy + yz + zx− 1
b)
2(x+ y)(1− xy)
(1 + x2)(1 + y2)
=
1− z2
1 + z2
c)
(1− xy)2 − (x+ y)2
(1 + x2)(1 + y)2
=
2z
1 + z2
33. Giải biện luận phương trình: x+
√
a2 − x2 0.
34. Giải hệ: {
|x+ y|+ |x− y| 6 2
x2 + y2 = 1
35. Giải hệ x
√
1− y2 + y√1− x2 = 1
x
√
1− y2 − y√1− x2 = 1
2
36. Giải hệ {√
x+
√
1− y = m+ 1√
y +
√
1− x = m+ 1
37. Giải hệ {
4xy(2x2 − 1) = 1
x2 + y2 = 1
38. Giải biện luận phương trình:
(a+ b)
√
a2 + b2 + x2 − (a− b)
√
a2 + b2 − x2 = a2 + b2
39. Giải phương trình:
1
x
+
1√
1− x2 =
5
12
40. Giải phương trình:
x+
x√
x2 − 1 =
35
12
41. Giải phương trình:√
1 +
√
1− x2
(√
(1 + x)3 −
√
(1− x)3
)
= 2 +
√
1− x2
4.6. Phương pháp Lượng giác 109
42. Giải phương trình: √
x− 2 +√4− x = x2 − 6x+ 11
43. Giải phương trình: √
1− x = 2x2 − 1 + 2x
√
1− x2
44. Giải biện luận phương trình:(
2a
1 + a2
)x
−
(
1− a2
1 + a2
)x
= 1 (0 < a < 1)
45. Giải phương trình:
|2x−
√
1− 4x2| =
√
2(8x2 − 1)
46. Giải bất phương trình:
√
1− x−√x >
√
3
3
47. Giải bất phương trình:
√
x− 1−√x− 2 > √3− x
48. Giải bất phương trình: √
1− x+√1 + x < 2
49. Cho f(x) = x3− 3
4
x 1) Chứng minh rằng |f(x)| 6 1
4
với mọi x; |x| 6 1. 2) Chứng
minh rằng:
Phương trình x3 − 3
4
x = m có nghiệm x ∈ [−1; 1]⇔ |m| 6 1
4
50. Chứng minh rằng với mọi a, b, c ∈ R ta luôn có
|a− c|√
(1 + a2)(1 + c2)
6 |a− b|√
(1 + a2)(1 + b2)
+
|b− c|√
(1 + b2)(1 + c2)
51. Phương trình
8x(1− 2x2)(8x4 − 8x2 + 1) = 0
có bao nhiêu nghiệm ∈ [0; 1]?.
52. Cho 0 6 ak 6 1 (k ∈ 1;n). Chứng minh rằng
n∏
k=1
(1 + a2k) +
n∏
k=1
(1− a2k) 6 2n
53. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của: y =
x2
1 + x4
.
4.7. Sử dụng định lý Lagrange 110
54. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của: y = |x|√1− x2.
55. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của: y =
√
1− x+√1 + x
56. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của: y =
x
1 + x2
với −1 6 x 6 1.
57. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của: y = x3 − 1
2
x với −1 6 x 6 1.
4.7 Sử dụng định lý Lagrange
Định lí 1 (Lagrange). Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a, b] và có đạo hàm
trên khoảng (a, b) thì tồn tại c ∈ (a, b) sao cho:
f(b)− f(a) = f ′(c)(b− a) (1) hay là: f ′(c) = f(b)− f(a)
b− a (2)
Các công thức (1) và (2) đều được gọi là các công thức Lagrange. Trong định lý
Lagrange a có thể = b. Khi đó, chỉ cần điều kiện f(x) khả vi tại x = a, ta có c = a
và công thức (1) vẫn đúng. Các nhận xét sau đây là các hệ quả trực tiếp của định lý
Lagrange.
Bổ đề 12. Nếu:{
1) f ′(x) + 1 6= 0 với mọi x ∈ I(a, b) ⊆ Df ; (*) liên thông.
2) ϕ(∗∗) ⊆ (∗); ψ(∗∗) ⊆ (∗).
thì trong (∗∗) ta có:
f(ϕ(x))− f(ψ(x)) = ψ(x)− ϕ(x)⇔ ϕ(x) = ψ(x)
Bổ đề 13. Nếu:
1) f(x)đồng biến với mọi x ∈ I(a, b) ⊆ Df ; (*) liên thông.
2) ϕ(∗∗) ⊆ (∗); ψ(∗∗) ⊆ (∗).
3) h(x) > 0 với mọi x ∈ (∗∗).
thì trong (∗∗) ta có:
f(ϕ(x))− f(ψ(x)) = [ψ(x)− ϕ(x)].h(x)⇔ ϕ(x) = ψ(x)
Bổ đề 14. Nếu:
1) f ′(x) > 0; g′(x) > 0 với mọi x ∈ I(a, b) ⊆ Df ; (*) liên thông.
2) ϕ(∗∗) ⊆ (∗); ψ(∗∗) ⊆ (∗).
3) h(x) > 0 với mọi x ∈ (∗∗).
thì trong (∗∗) ta có:
f(ϕ(x))− f(ψ(x)) = [g(ψ(x))− g(ϕ(x))].h(x)⇔ ϕ(x) = ψ(x)
4.7. Sử dụng định lý Lagrange 111
Bổ đề 15. Nếu f(x) đồng biến trong (∗) ⊆ Df , (∗) liên thông, thì trong I(a, b) ta có:
f(f(x)) = x⇔ f(x) = x ; f(f(f(x))) = x⇔ f(x) = x
Nếu f ′(x) + 1 6= 0 với mọi x ∈ I(a, b) ⊆ Df , (∗) liên thông, thì trong I(a, b) ta có:
f(f(x)) = x⇔ f(x) = x ; f(f(f(x))) = x⇔ f(x) = x
Ví dụ 4.7.1. Giải phương trình:
x3 + 1 = 2 3
√
2x− 1. (1)
(1)⇔ x = 1
2
(
1 +
1
2
(1 + x3)
)3
= f(f(x).
Với f(x) =
1
2
(1 + x3). Có f ′(x) =
3
2
x2 > 0 với mọi x ∈ R ⇒ f(x) đồng biến trên tập
xác định R. Do đó
(1)⇔ f(x) = x⇔ x3 − 2x+ 1 = 0⇔ (x− 1)(x2 + x− 1) = 0
⇔
[
x− 1 = 0
x2 + x− 1 = 0 ⇔

x = 1
x =
−1−√5
2
x =
−1 +√5
2
.
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm
x = 1 ∨ x = −1−
√
5
2
∨ x = −1 +
√
5
2
.
Ví dụ 4.7.2. Giải phương trình:
2x − 22x+1 = (x+ 1).3x. (2)
Xét hàm số f(x) = 2x có f ′(x) = 2x ln 2, ∀x ∈ R. Theo định lý Lagrange, tồn tại c
nằm giữa x và 2x+ 1 sao cho
2x − 22x+1 = f ′(c).[x− (2x+ 1)] = −(x+ 1).2c. ln 2. Bởi vậy:
(2)⇔ −(x+1).2c. ln 2 = (x+1).3x ⇔ (x+1)[3x+2c. ln 2] = 0⇔ x+1 = 0⇔ x = −1.
(Do [3x + 2c. ln 2] > 0 với mọi x ∈ R.)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = −1.
Ví dụ 4.7.3. Chứng minh rằng phương trình:
pi.ar cosx− pi
2
− pix− 1√
1− x2 . (3)
luôn có nghiệm x ∈ ( 1
pi
;
pi
4
) (∗).
4.7. Sử dụng định lý Lagrange 112
Đặt f(x) = V T (3). Xét hàm số
F (x) = (pix− 1)(cos x−
√
2
2
).
Hàm số F (x) xác định, liên tục trên [
1
pi
;
pi
4
] và có
F ′(x) = f(x), ∀x ∈ I(a, b); F ( 1
pi
) = 0 =; F (
pi
4
) = 0.
Vậy theo định lý Lagrange, tồn tại x0 ∈ I(a, b) sao cho
f(x0) =
F (pi
4
)− F ( 1
pi
)
pi
4
− 1
pi
= 0.
Vậy, phương trình f(x) = 0 (3) luôn có nghiệm x ∈ I(a, b) (đpcm).
Ví dụ 4.7.4. Chứng minh rằng phương trình:
(4x− 3) log3 x+
2x2 − 3x+ 1
x ln 3
= 0. (4)
luôn có nghiệm x ∈ (1
2
; 1) (∗).
Đặt f(x) = V T (4). Xét hàm số
F (x) = (2x2 − 3x+ 1) log3 x.
Hàm số F (x) xác định, liên tục trên [
1
2
; 1] và có
F ′(x) = f(x), ∀x ∈ I(a, b); F (1
2
) = 0; F (1) = 0.
Vậy theo định lý Lagrange, tồn tại x0 ∈ I(a, b) sao cho
f(x0) =
F (1)− F (1
2
)
1− 1
2
= 0.
Vậy, phương trình f(x) = 0 (4) luôn có nghiệm x ∈ I(a, b) (đpcm).
Ví dụ 4.7.5. Chứng minh rằng phương trình:
2(x− 1) sin 2x− cos 2x+
√
2
2
= 0. (5)
luôn có nghiệm x ∈ (pi
8
; 1) (∗).
4.7. Sử dụng định lý Lagrange 113
Đặt f(x) = V T (5). Xét hàm số
F (x) = (x− 1)(cos 2x−
√
2
2
).
Hàm số F (x) xác định, liên tục trên [
pi
8
; 1] và có
F ′(x) = f(x), ∀x ∈ I(a, b); F (pi
8
) = 0; F (1) = 0.
Vậy theo định lý Lagrange, tồn tại x0 ∈ I(a, b) sao cho
f(x0) =
F (1)− F (pi
8
)
1− pi
8
= 0.
Vậy, phương trình f(x) = 0 (4) luôn có nghiệm x ∈ I(a, b) (đpcm).
Ví dụ 4.7.6. Chứng minh rằng phương trình:
2(x2 − x− 2) cos 2x = (1− 2x) sin 2x. (6)
luôn có ít nhất 3 nghiệm phân biệt trong khoảng (−1; 2) (∗).
(6)⇔ f(x) := 2(x2 − x− 2) cos 2x− (1− 2x) sin 2x = 0 (6.1). Xét hàm số
F (x) = 9x2 − x− 2) sin 2x.
Hàm số F (x) xác định, liên tục trên [−1; 2] và có
F ′(x) = f(x), ∀x ∈ I(a, b); F (−1) = 0; F (0) = 0; F (pi
2
) = 0; F (2) = 0.
Vậy theo định lý Lagrange, tồn tại x0 ∈ (−1; 0) (∗1) sao cho
f(x0) =
F (0)− F (−1)
0− (−1) = 0.
Tương tự, tồn tại x1 ∈ (0; pi
2
) (∗2) sao cho f(x1) = 0;
tồn tại x2 ∈ (pi
2
; 2) (∗3) sao cho f(x2) = 0. Mà các khoảng (∗1); (∗2); (∗3) đôi một không
giao nhau
nên các nghiệm x0; x1; x2 cũng đôi một khác nhau. Vậy, phương trình
f(x) = 0 (6.1)⇔ (6)
luôn có ít nhất ba nghiệm phân biệt x ∈ I(a, b) (đpcm).
4.7. Sử dụng định lý Lagrange 114
Ví dụ 4.7.7. Cho phương trình:
ax2 + bx+ c = 0. (7)
Chứng minh rằng nếu
m > 0; a, b, c ∈ R, thoả mãn a
m+ 2
+
b
m+ 1
+
c
m
= 0 (∗1)
thì phương trình (7) luôn có nghiệm x ∈ (0; 1) (∗).
Đặt f(x) = axm+1 + bxm + cxm−1 = xm−1(ax2 + bx+ c). Xét hàm số
F (x) =
a
m+ 2
xm+2 +
b
m+ 1
xm+1 +
c
m
xm.
Hàm số F (x) xác định, liên tục trên [0; 1] và có
F ′(x) = f(x), ∀x ∈ I(a, b); F (0) = 0; F (1) = a
m+ 2
+
b
m+ 1
+
c
m
= 0.
Vậy theo định lý Lagrange, tồn tại x0 ∈ I(a, b) sao cho
f(x0) =
F (1)− F (0)
1− 0 = 0.
hay là xm−10 (ax
2
0 + bx0 + c) = 0⇒ ax20 + bx0 + c = 0 (vì x0 ∈ (0; 1)⇒ xm−10 6= 0).
Vậy, phương trình ax2 + bx+ c = 0 (7) luôn có nghiệm x ∈ I(a, b) (đpcm).
Ví dụ 4.7.8. Cho phương trình:
anx
n + an−1xn−1 + · · ·+ a− 1x+ a− 0 = 0. (8)
Chứng minh rằng nếu
an
n+ 1
+
an−1
n
+ · · ·+ a1
2
+ a0 = 0 (∗1)
thì phương trình (8) luôn có nghiệm x ∈ (0; 1) (∗).
Đặt f(x) = V T (8). Xét hàm số
F (x) =
an
n+ 1
xn+1 +
an−1
n
xn + · · ·+ a1
2
x2 + a0x.
Hàm số F (x) xác định, liên tục trên [0; 1] và có
F ′(x) = f(x), ∀x ∈ I(a, b); F (0) = 0; F (1) = 0 (do (∗1)).
Vậy theo định lý Lagrange, tồn tại x0 ∈ I(a, b) sao cho
f(x0) =
F (1)− F (0)
1− 0 = 0.
Vậy, phương trình f(x) = 0 (8) luôn có nghiệm x ∈ I(a, b) (đpcm).
4.7. Sử dụng định lý Lagrange 115
Ví dụ 4.7.9. Cho phương trình:
anx
n + an−1xn−1 + · · ·+ a− 1x+ a− 0 = 0. (9)
Chứng minh rằng nếu tồn tại m ∈ N∗ sao cho :
an
n+m
+
an−1
n+m− 1 + · · ·+
a1
m+ 1
+
a0
m
= 0 (∗1)
thì phương trình (8) luôn có nghiệm x ∈ (0; 1) (∗).
Đặt f(x) = V T (9). Xét hàm số
F (x) =
an
n+m
xn+m +
an−1
n+m− 1x
n+m−1 + · · ·+ a1
m+ 1
xm+1 +
a0
m
xm.
Hàm số F (x) xác định, liên tục trên [0; 1] và có
F ′(x) = xm−1.f(x), ∀x ∈ I(a, b); F (0) = 0; F (1) = 0 (do (∗1)).
Vậy theo định lý Lagrange, tồn tại x0 ∈ I(a, b) sao cho
F ′(x0) = xm−10 f(x0) =
F (1)− F (0)
1− 0 = 0.
⇒ f(x0) = 0 do x0 ∈ (0; 1)⇒ xm−10 6= 0.
Vậy, phương trình f(x) = 0 (9) luôn có nghiệm x ∈ I(a, b) (đpcm).
Ví dụ 4.7.10. Cho phương trình:
a. cos 3x+ b. cos 2x+ c. cosx+ sinx = 0. (10)
Chứng minh rằng với mọi a, b, c ∈ R thì phương trình (10) luôn có nghiệm x ∈ (0; 2pi).
Đặt f(x) = V T (10). Xét hàm số
F (x) =
a
3
sin 3x+
b
2
sin 2x+ c sin x− cosx+ 1.
Hàm số F (x) xác định, liên tục trên [0; 2pi] và có
F ′(x) = f(x), ∀x ∈ I(a, b); F (0) = 0; F (2pi) = 0, ∀a, b, c ∈ R.
Vậy theo định lý Lagrange, tồn tại x0 ∈ I(a, b) sao cho
f(x0) =
F (2pi)− F (0)
2pi − 0 = 0.
Vậy, với mọi a, b, c ∈ R phương trình f(x) = 0 (10) luôn có nghiệm x ∈ I(a, b) (đpcm).
4.8. Sử dụng định lý Rolle 116
Bài tập tương tự
1. Giải phương trình:
22x+3 − 2x2 = ( 3
√
x2 − 3√2x+ 3)(x2 + 1 + 2x)
2. Giải phương trình:
(x3 + 1)5 − (x2 + 1)5 = (
√
x2 + 1−
√
x3 + 1)(
√
x+
√
x+ 1)
3. Giải phương trình: x = a+
√
a+
√
x
4. Giải phương trình: x =
√
a+
√
a+ x
4.8 Sử dụng định lý Rolle
Định lí 2 (Rolle ). Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a, b] ; có đạo hàm trên
khoảng (a, b) và f(a) = f(b) thì tồn tại c ∈ (a, b) sao cho f ′(c) = 0.
Từ định lý Rolle ta thu được các hệ quả sau:
Bổ đề 16. Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a, b] ; có đạo hàm trên khoảng (a, b)
thì giữa hai nghiệm (liên tiếp) ∈ (a; b) của phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm
của phương trình f ′(x) = 0.
Bổ đề 17. Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a, b] ; có đạo hàm trên khoảng (a, b)
và phương trình f(x) = 0 có k nghiệm x ∈ (a; b) thì phương trình f ′(x) = 0 có ít nhất
k − 1 nghiệm x ∈ (a; b).
Ví dụ 4.8.1. Giải phương trình:
3x + 2x = 3x+ 2. (1)
Ta có (1)⇔ f(x) = 3x+2x−3x−2 = 0. Nhận xét rằng f(0) = 0; f(1) = 0⇒ phương
trình (1) có ít nhất hai nghiệm thực phân biệt. Giả sử (1) có nhiều hơn hai nghiệm thực
phân biệt, khi đó, theo hệ quả của định lý Rolle , phương trình f ′(x) = 0 có ít nhất hai
nghiệm thực phân biệt. Cũng theo lý do trên, phương trình f ′′(x) = 0 có ít nhất một
nghiệm thực. Mà f ′(x) = 3x ln 3 + 2x ln 2− 3 ⇒ f ′′(x) = 3x( ln 3)2 + 2x( ln 2)2 > 0 với
mọi x ∈ R. Đó là điều mâu thuẫn với kết quả trên. Vậy giả sử của ta là sai, tức là (1)
có không quá hai nghiệm thực phân biệt, Nói cách khác, (1) chỉ có đúng hai nghiệm là
x = 0; x = 1.
4.8. Sử dụng định lý Rolle 117
Ví dụ 4.8.2. Chứng minh rằng với mọi a, b, c ∈ R, phương trình:
a. cos 3x+ b. cos 2x+ c. cosx+ sinx = 0. (2)
luôn có nghiệm x ∈ [0; 2pi] (∗).
Xét hàm số
f(x) =
a
3
sin 3x+
b
2
sin 2x+ c. sin x− cosx.
Ta có f(x) xác định, liên tục và có đạo hàm bậc nhất:
f ′(x) = a. cos 3x+ b. cos 2x+ c. cosx+ sinx = V T (2)
với mọi x ∈ I(a, b). Ngoài ra,
f(0) = f(2pi) = a+ b+ c.
Vậy, theo định lý Rolle , tồn tại c ∈ (0; 2pi) ⊂ [0; 2pi] = (∗) sao cho f ′(c) = 0. Nói cách
khác, phương trình (2) luôn có ít nhất một nghiệm (x = c) ∈ I(a, b). Đó chính là điều
cần chứng minh.
Ví dụ 4.8.3. Cho hàm số f(x) liên tục trên [a; b]; khả vi trên (a; b) và f(a) = f(b) = 0.
Chứng minh rằng với mọi k ∈ R∗, phương trình
f(x) + k.f ′(x) = 0 (3)
luôn có ít nhất một nghiệm x ∈ (a; b).
Xét g(x) = e
x
k .f(x). Ta có g(x) liên tục trên [a; b]; khả vi trên (a; b) và g(a) =
g(b) = 0. Theo định lý Rolle , phương trình g′(x) = 0 (3.1) luôn có ít nhất một nghiệm
x ∈ (a; b). Mà
g′(x) =
1
k
e
x
k .f(x) + e
x
k .f ′(x) =
1
k
e
x
k [f(x) + kf ′(x)].
Còn
1
k
e
x
k 6= 0 với mọi x ∈ R nên
(3.1)⇔ f(x) + k.f ′(x) = 0 (3).
Vậy phương trình (3) luôn có ít nhất một nghiệm x ∈ (a; b). Đó chính là đpcm.
Ví dụ 4.8.4. Chứng minh rằng với mọi a, b, c ∈ R, đa thức:
P (x) = x5 − 2x4 + 2x3 + ax2 + bx+ c
có không quá ba nghiệm thực phân biệt.
4.8. Sử dụng định lý Rolle 118
Giả sử P (x) có nhiều hơn 3 nghiệm thực phân biệt. Khi đó, do P (x) xác định, liên
tục và khả vi trên R nên theo hệ quả của định lý Rolle , đa thức P ′(x) có ít nhất ba
nghiệm thực phân biệt. Lập luận tương tự ta được P ′′′(x) có ít nhất một nghiệm thực.
Mà
P ′(x) = 5x4 − 8x3 + 6x2 + 2ax+ b⇒ P ′′(x) = 30x3 − 24x2 + 12x+ 2a
⇒ P ′′′(x) = 60x2 − 48x+ 12 = 12(x2 + (2x− 1)2) > 0, ∀x ∈ R.
Điều mâu thuẫn thu được chứng tỏ giả sử trên là sai, tức là đa thức P (x) đã cho có
không quá ba nghiệm thực phân biệt (đpcm),
Ví dụ 4.8.5. Chứng minh rằng nếu a, b, c, d ∈ R , đôi một khác nhau thì phương trình:
(x−a)(x−b)(x−c)+(x−b)(x−c)(x−d)+(x−c)(x−d)(x−a)+(x−d)(x−a)(x−b) = 0 (4)
luôn có ba nghiệm phân biệt.
Xét
P (x) = (x− a)(x− b)(x− c)(x− d).
Ta có P (x) xác định, liên tục, khả vi trên R và có bốn nghiệm thực phân biệt. Theo hệ
quả của định lý Rolle , phương trình P ′(x) = 0 (4.1) có ít nhất ba nghiệm phân biệt.
Mặt khác, P ′(x) là đa thức bậc ba nên nó có không quá ba nghiệm thực phân biệt. Vậy
P ′(x) có đúng ba nghiệm thực phân biệt. Nhưng
P ′(x) = V T (4) nên (4.1)⇔ (4).
Nói cách khác phương trình (4) luôn có đúng ba nghiệm thực phân biệt. Đó chính là
điều phải chứng minh.
Ví dụ 4.8.6. Tìm số nghiệm của phương trình:
3 sinx = x. (5)
Đặt f(x) := 3 sin x− x. Ta có f(x) xác định, liên tục, khả vi trên R và
(5)⇔ f(x) = 0 (5.1)
Do với mọi x ∈ R ta luôn có −1 6 sin x 6 1 nên mọi nghiệm nếu có của phương trình
(5) đều ∈ (−3; 3) (∗). Nhận xét rằng (∗) ⊂ (−pi; pi) := (∗1). Ngoài ra, ta có
f ′(x) = 3 cos x− 1
suy ra f ′(x) có hai nghiệm phân biệt ∈ (∗1)⇒ f ′(x) có không quá hai nghiệm phân biệt
∈ I(a, b). Sử dụng định lý Rolle ta được f(x) có không quá ba nghiệm phân biệt. Mà
f(x) liên tục trên R, f(0) = 0; f(−pi
2
).f(−3) < 0; f(pi
3
).f(3) < 0 nên f(x) có ít nhất
ba nghiệm phân biệt. Tóm lại phương trình (5) có đúng ba nghiệm phân biệt.
4.8. Sử dụng định lý Rolle 119
Ví dụ 4.8.7. Giải phương trình:
2x− sin pix = 0. (6)
Đặt f(x) := 2x− sin pix. Ta có f(x) xác định, liên tục, khả vi trên R và
(6)⇔ f(x) = 0 (6.1)
Do với mọi x ∈ R ta luôn có −1 6 sin pix 6 1 nên mọi nghiệm nếu có của phương trình
(5) đều ∈ (−1
2
;
1
2
) (∗). Nhận xét rằng (∗) ⊂ (−pi
2
;
pi
2
) := (∗1). Ngoài ra, ta có
f ′(x) = 2− pi sin pix
suy ra f ′(x) có hai nghiệm phân biệt ∈ (∗1)⇒ f ′(x) có không quá hai nghiệm phân biệt
∈ I(a, b). Sử dụng định lý Rolle ta được f(x) có không quá ba nghiệm phân biệt.
Mà f(0) = 0; f(−1
2
) = 0; f(
1
2
) = 0
nên f(x) có ít nhất ba nghiệm phân biệt. Tóm lại phương trình (5) có đúng ba nghiệm
phân biệt là
x = 0; x = −1
2
; x =
1
2
.
Ví dụ 4.8.8. Chứng minh rằng phương trình:
2x = x2 + 1. (7)
có đúng 3 nghiệm phân biệt.
Đặt f(x) := 2x − x2 − 1. Ta có f(x) xác định, liên tục, khả vi trên R và
(7)⇔ f(x) = 0 (7.1)
Có f(0) = f(1) = 0; f(2) = −1, f(5) = 6⇒ f(2).f(5) = −6 < 0⇒ f(x) có ít nhất ba
nghiệm phân biệt. Giả sử f(x) có > 4 nghiệm phân biệt. Theo hệ quả của định lý Rolle ,
f ′′(x) có > 2 nghiệm phân biệt. Mà f ′(x) = 2x ln 2−2x; f ′′(x) = 2x( ln 2)2−2⇒ f ′′(x)
có đúng một nghiệm. Ta thu được hai kết quả mâu thuẫn nhau. Điều đó chứng tỏ rằng
f(x) có không quá ba nghiệm phân biệt. Vậy f(x) có đúng ba nghiệm phân biệt. Từ đó
thu được đpcm.
Bài tập tương tự
1. Giải và biện luận phương trình: ax = (a− 1)x+ 1 (a > 0; 6= 1)
4.8. Sử dụng định lý Rolle 120
2. Giải phương trình:
n+1∑
k=2
kx = n+
n(n+ 1)
2
x
3. Giải bất phương trình:
lg
5 + x
5− x
2x − 3x+ 1 < 0
4. Giải phương trình: (4x + 2)(2− x) = 6
5. Tìm nghiệm x > 1 của phương trình:
(x+ 1) ln
x+ 1
x
+ x