Toán 11 - Chương 1: Công thức lượng giác

cos 2x 1 0⇔ − − 
( )
2
2
cos 2x 1
1cos 2x voâ nghieäm
4
⎡ =⎢⇔ ⎢ = −⎢⎣
( )
sin2x 0
k2x k x k Z
2
⇔ =
π⇔ = π ⇔ = ∈ 
Caùch 2: (**) ( )1 cos8x cos4x 1 0
2
⇔ + − = 
( )
2
cos8x cos4x 2 0
2cos 4x cos4x 3 0
cos4x 1
3cos4x loaïi
2
⇔ + − =
⇔ + −
=⎡⎢⇔ ⎢ = −⎣
= 
( )k4x k2 x k Z
2
π⇔ = π ⇔ = ∈ 
 Caùch 3: phöông trình löôïng giaùc khoâng maãu möïc: 
(**) ⇔ cos6x cos2x 1
cos6x cos2x 1
= =⎡⎢ = = −⎣
 Caùch 4: + − = ⇔ +cos8x cos4x 2 0 cos8x cos4x 2=
 ⇔ = =cos8x cos4x 1 ⇔ =cos4x 1 
Baøi 58: (Ñeà thi tuyeån sinh Ñaïi hoïc khoái D, naêm 2005) 
Giaûi phöông trình: 4 4 3cos x sin x cos x sin 3x 0
4 4
π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 = 
Ta coù: 
(*) 
( )22 2 2 2 1 3sin x cos x 2sin x cos x sin 4x sin2x 02 2⎡ ⎤π⎛ ⎞⇔ + − + − + −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ 2 =
[ ]21 1 31 sin 2x cos4x sin2x 0
2 2 2
⇔ − + − + − = 
( )2 21 1 1 1sin 2x 1 2sin 2x sin2x 02 2 2 2⇔ − − − + − = 
2sin 2x sin2x 2 0⇔ + − =
( )
sin2x 1
sin2x 2 loaïi
=⎡⇔ ⎢ = −⎣
π⇔ = + π ∈
π⇔ = + π ∈


2x k2 , k
2
x k , k
4
Baøi 59: (Ñeà th ïc khoái B, naêm 2004) i tuyeån sinh Ñaïi ho
 ( ) (− = − 25sin x 2 3 1 sinx tg x * )Giaûi phöông trình:
Khi ñoù: (*) 
cos x 0 sin x 1≠ ⇔ ≠ ± Ñieàu kieän: 
( ) 22sin x5sin x 2 3 1 sin x cos x⇔ − = − 
( ) 2 2sin x5sin x 2 3 1 sin x 1 sin x⇔ − = − − 
23sin x5sin x 2
1 sin x
⇔ − = + 
22sin x 3sin x 2 0⇔ + − =
( )
( )
1sin x nhaändosin x 1
2
sin x 2 voâ nghieäm
⎡ = ≠⎢⇔ ⎢ = −⎢⎣
±
( )5x k2 x k2 k
6 6
π π⇔ = + π ∨ = + π ∈ Z
 ( )1 12sin3x 2cos3x *
sin x cos x
− = + Baøi 60: Giaûi phöông trình:
Luùc ñoù: (*) 
Ñieàu kieän: sin2x 0≠ 
( ) 1 12 sin3x cos3x
sin x cos x
⇔ − = + 
( ) ( )3 3 1 12 3 sin x cos x 4 sin x cos x sin x cos x⎡ ⎤⇔ + − + = +⎣ ⎦ 
( ) ( )2 2 sin x cos x2 sin x cos x 3 4 sin x sin x cos x cos x sin x cos x+⎡ ⎤⇔ + − − + =⎣ ⎦ 
( ) 1sin x cos x 2 8sin x cos x 0
sin x cos x
⎡ ⎤⇔ + − + − =⎢ ⎥⎣ ⎦ 
( ) 2sin x cos x 4sin2x 2 0
sin2x
⎡ ⎤⇔ + − −⎢ ⎥⎣ ⎦ =
( )2
tgx 1sin x cos x 0
nhaän so vôùiñieàu kieän1sin2x 1 sin2x4sin 2x 2sin2x 2 0
2
= −⎡+ =⎡ ⎢⇔ ⇔ −⎢ ⎢ = ∨ =− − =⎣ ⎣
π π π π⇔ = − + π ∨ = + π ∨ = − + π ∨ = + π ∈ 7x k 2x k2 2x k2 2x k2 , k
4 2 6 6
π π π⇔ = ± + π ∨ = − + π ∨ = + π ∈ 7x k x k x k , k
4 12 12
( ) ( )+ − − =+
2cos x 2sin x 3 2 2 cos x 1
1 *
1 sin 2x
 Baøi 61: Giaûi phöông trình:
 sin2x 1 x m
4
π≠ − ⇔ ≠ − + π Ñieàu kieän:
Luùc ñoù: 
(*) 22sin x cos x 3 2 cos x 2cos x 1 1 sin2x⇔ + − − = + 
22cos x 3 2 cos x 2 0⇔ − + =
( )⇔ = =2cos x hay cos x 2 voâ nghieäm
2
( )
x k2
4
x k '2 loaïi do ñieàu kieän
4
π⎡ = + π⎢⇔ ⎢ π⎢ = − + π⎢⎣
x k2
4
⇔ = + π π
Baøi 62: Giaûi phöông trình: 
( )x 3x x 3x 1cos x.cos .cos sin xsin sin *
2 2 2 2 2
− = 
Ta coù: (*) ( ) ( )1 1cos x cos2x cos x sin x cos2x cos x
2 2
1
2
⇔ + + − = 
2cos x.cos2x cos x sin x cos2x sin x cos x 1⇔ + + − = 
cos x⇔ + = − + ( ) 2cos2x cos x sin x 1 cos x sin x
( ) ( )cos2x cos x sin x sin x sin x cos x⇔ + = + 
( ) ( ) ( )cos x sin x cos2x sin x 0 * *⇔ + − = 
( ) ( )2cos x sin x 1 2sin x sin x 0⇔ + − − =
2
cos x sin x
2sin x sin x 1 0
= −⎡⇔ ⎢ + − =⎣
tgx 1
sin x 1
1sin x
2
⎡⎢ = −⎢⇔ =⎢⎢ =⎢⎣
− ( )
x k
4
x k2 k
2
5x k2 x k2
6 6
π⎡ = − + π⎢⎢ π⎢⇔ = − + π ∈⎢⎢ π π⎢ = + π ∨ = + π⎢⎣
 Z
Caùch khaùc: (**) tgx 1 cos2x sin x cos x
2
π⎛ ⎞⇔ = − ∨ = = −⎜ ⎟⎝ ⎠ 
 ( )34 cos x 3 2 sin2x 8cos x *+ = Baøi 63: Giaûi phöông trình:
Ta coù: (*) 34 cos x 6 2 sin x cos x 8cos x 0⇔ + − =( )2cos x 2cos x 3 2 sin x 4 0⇔ + − =
( )2cos x 2 1 sin x 3 2 sin x 4 0⎡ ⎤⇔ − + −⎣ ⎦ =
2cos x 0 2sin x 3 2 sin x 2 0⇔ = ∨ − + = 
( )
cos x 0
2sin x
2
sin x 2 voâ nghieäm
=⎡⎢⎢⇔ =⎢⎢ =⎢⎣
2x k sin x sin
2 2
π π⇔ = + π ∨ = = 
4
( )3x k x k2 x k2 k
2 4 4
π π π⇔ = + π ∨ = + π ∨ = + π ∈ Z
Baøi 64
: Giaûi phöông trình: 
( )cos 2x cos 2x 4sin x 2 2 1 sin x *
4 4
π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + − + = + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ( )
(*) ( )2cos2x.cos 4sin x 2 2 1 sin x
4
π⇔ + = + − 
( ) ( )
( )
2
2
2 1 2sin x 4 2 sin x 2 2 0
2 2 sin x 4 2 sin x 2 0
⇔ − + + − − =
⇔ − + + =
( )⇔ − + + =22 sin x 2 2 1 sin x 2 0 ( )⎡⎢si =⇔ ⎢ =⎢⎣
n x 2 loaïi
1sin x
2
π π⇔ = + π = + π ∈ 5x k2 hay x k2 , k
6 6
Baøi 65 ( ) ( )+2g x 2 2 = +23 cot sin x 2 3 2 cos x * : Giaûi phöông trình :
Ñieàu kieän:
(*) 
 sin x 0 cos x 1≠ ⇔ ≠ ± 
Chia hai veá (*) cho 2sin x ta ñöôïc: 
( )24 2cos x cos x3 2 2 2 3 2sin x sin x⇔ + = + vaø sin x 0≠ 
 2
cos xt
sin x
=Ñaët ta ñöôïc phöông trình: 
( )23t 2 t 2− + +2 3 2 0
2t 2 t
3
=
⇔ = ∨ =
* Vôùi 2t
3
= ta coù: 2
cos x 2
3sin x
= 
( )
( )
(co nhaän 1⎢⎣ )
2
2
3cos x 2 1 cos x
2cos x 3cos x 2 0
cos x 2 loaïi
1s x do cos x
2
⇔ = −
⇔ + − =
⎡ = −⎢⇔ ⎢ = ≠ ±
( )x k2 k
3
π⇔ = ± + π ∈ Z
* Vôùi t 2= ta coù: =2
cos x 2
sin x
( )
( )
( )
⇔ = −
⇔ + − =
⎡ = −⎢⇔ ⎢ = ≠ ±⎢⎣
π⇔ = ± + π ∈x k2 , k 
2
2
cos x 2 1 cos x
2 cos x cos x 2 0
cos x 2 loaïi
2cos x nhaän do cos x 1
2
4
Baøi 66
: Giaûi phöông trình: ( )+ − − =2 24 sin 2x 6sin x 9 3cos 2x 0 *
cos x
( )
( ) ( ) ( )2
t cos2x t 1
t 1 4t 4 0 t 1
t cos2x t 1⎧ = ≤ ⎧ = ≤
− − + = = ±⎪⎪ ⎩⎩
 ⎪ ⎪⇔⎨ ⎨
( )
⇔ = ± ⇔ =
π⇔ = ⇔ = π ⇔ = ∈
2cos 2x 1 cos 2x 1
ksin 2x 0 2x k x , k Z
2
3x 0, 2x 0, .Vaäy c
6
⎛ ⎞∈ ⎜ ⎟⎝ ⎠ os2x t ,112 2
⎛ ⎞π π⎛ ⎞∈ ⇔ = ∈ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠
− + = −
⇔ − = ≠2
b/ Ta coù : ⎝ ⎠
2(⇔ ) ( ) ( )
( )
Vaäy (**) t-1 4t 3 a 1 t
4t 3 a do t 1
eùt ( )2 3y P4t 3 treân ,1
2
⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
 X
3y ' 8t 0 t ,1
2
⎛ ⎞⇒ = > ∀ ∈ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
ñ ù (*) coù nghieäm treâ ( ) ( ) ⎛ ⎞π⎛ ⎞ ⇔ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
30, d : y a caét P treân ,1
2 2
 Do o n
( )3y a y
2
0 a 1
1<⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
< <
BAØI TAÄP
⎛ ⎞⇔ <
⇔
ûi ùc phöông trình sau : 1. Gia ca
 a/ sin4x = tgx 
 b/ 4 4 4 9sin π πx sin x x sin x
4 4 8
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
 c/ tgx cot gx 4+ = 
 d/ 
( ) 2sin x 3 2 2cos x 2sin x 1
1
1 sin2x
− − − =− 
 e/ 44 cos x 3 2 sin2x 8cos x+ = 
 f/ 1 1 2
cos sin2x sin4x
+ = 
x
 g/ sin2x 2 sin x 1
4
π⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠ =
 h/ ( ) ( )2 2sin x 1 4 sin x 1 cos 2x sin 2x
4 4
π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
 k/ 24xcos cos x
3
= 
 l/ xtg .cos x sin2x 0
2
+ = 
 m/ 1 3tgx 2sin2x+ = 
 n/ cot gx tgx 2tg2x= + 
 p/ + =2 3x 4x2cos 1 3cos
5 5
 q/ = 23cos4x 2cos 3x 1−
 r/ 2 3x2cos 1 3cos2x+ = 
2
x s/ cos x tg 1
2
+ = 
 t/
 u/ 
 23tg2x 4tg3x tg 3x.tg2x− = 
2 3cos x.cos4x cos2x.cos3x cos 4x
2
+ + =
 v/ 2 2 2 2 3cos x cos 2x cos 3x cos 4x
2
+ + + = 
 w/
x/
 sin4x tgx= 
 6 6 213cos x sin x cos 2x
8
+ = 
 y/ 3 x 1 3xsinπ π⎞ ⎛ ⎞− = + sin
2
⎛⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠
 ( 1 ) 
a/ Giaûi phöông trình khi a = 1. 
10 2 2 10⎝ ⎠ ⎝
. 6 6sin x cos x a sin 2x+ =2
1a
4
≥ ) b/ Tìm a ñeå (1) coù nghieäm (ÑS : 
3. Cho phöông trình 
 ( )6 62 2cos x sin x 2mtg2x 1cos x sin x
+ =− 
 a/ Giaûi phöông trình khi m = 1
8
1m
8
≥ b/ Tìm m sao cho (1) coù nghieäm (ÑS : ) 
. 
4 Tìm m ñeå phöông trình 
x kπ sin4x mtgx coù nghieäm= ≠
1ÑS : m 4
2
⎛ ⎞− < <⎜ ⎟⎝ ⎠ 
5. Tìm m ñeå phöông trình : 
 coù ñuùng 7 nghieäm treân 
 cos3x cos2x mcosx 1− + − = 0
,2
2
π⎛ ⎞− π⎜ ⎟⎝ ⎠ ( )ÑS :1 m 3< < 
6. Tìm m ñeå phöông trình : ( ) ( )4 44 sin x cos 6 6 2x 4 sin x c 4x mos x sin− + = coù nghieäm + −
1ÑS : m 1
8
⎛ ⎞− ≤ ≤ ⎜⎝ ⎟⎠ 
7. Cho phöông trình : 
2 2 26sin x sin x mcos 2x− = (1) 
 a/ Giaûi phöông trình khi m = 3 
 b/ Tìm m ñeå (1) coù nghieäm ( )ÑS :m 0≥ 
8. Tìm m ñeå phöông trình : 
( )4 22m 1msin x cos4x sin4x sin x 0
4 4
++ + − =
 coù hai nghieäm phaân bieät treân ,
4 2
π π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ 
1ÑS :2 5 4 m
2
⎛ ⎞− < <⎜ ⎟⎝ ⎠ 
9. Tìm m ñeå phöông trình : 
 coù nghieäm 
( )6 6 4 4sin x cos x m sin x cos x+ = +
1ÑS : m 1
2
⎛ ⎞≤ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠ 
10. Cho phöông trình : 
 Tìm a ñeå phöông trình coù nghieäm 
2 2cos4x cos 3x a sin x= + 
x 0,
2
π⎛ ⎞∈ ⎜ ⎟⎝ ⎠ 
( )ÑS :0 a 1< < 
Th.S Phạm Hồng Danh 
TT luyện thi đại học CLC Vĩnh Viễn 
 CHÖÔNG IV: 
PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT THEO SIN VAØ COSIN (PHÖÔNG 
TRÌNH COÅ ÑIEÅN) 
( ) ( )a sin u bcosu c * . a, b R \ 0+ = ∈ 
Caùch 1 : Chia 2 veá phöông trình cho + ≠2 2a b 0 
Ñaët [ ]
2 2 2 2
a bcos vaø sin vôùi 0,2
a b a b
α = α = α ∈ π
+ +
( )
( )
2 2
2 2
cThì * sinu cos cosu sin
a b
csin u
a b
⇔ α + α =
+
⇔ + α =
+
Caùch 2 : 
Neáu laø nghieäm cuûa (*) thì : u k2= π + π
asin bcos c b cπ + π = ⇔ − = 
Neáu ñaët u k≠ π + π2 ut tg
2
= thì (*) thaønh : 
2
2 2
2t 1 ta b
1 t 1 t
−+ =+ + c 
( ) ( ) ( )2b c t 2at c b 0 1 vôùi b c 0⇔ + − + − = + ≠ 
Phöông trình coù nghieäm ( ) ( )2' a c b c b 0⇔ Δ = − + − ≥ 
2 2 2 2 2 2a c b a b c⇔ ≥ − ⇔ + ≥ 
Giaûi phöông trình (1) tìm ñöôïc t. Töø 
ut tg
2
= ta tìm ñöôïc u. 
Baøi 87 : Tìm 2 6x ,
5 7
π π⎛∈ ⎜⎝ ⎠
⎞⎟ thoûa phöông trình : ( )cos7x 3 sin7x 2 *− = − 
Chia hai veá cuûa (*) cho 2 ta ñöôïc : 
( ) ⇔ − = −
π π⇔ − + =
π π⎛ ⎞⇔ − =⎜ ⎟⎝ ⎠
1 3 2* cos7x sin7x
2 2 2
2sin cos7x cos sin7x
6 6
sin 7x sin
6 4
2
π π π π⇔ − = + π − = +37x k2 hay 7x h2
6 4 6 4
π , ( )∈k, h Z 
π π π π⇔ = + = + ∈ 5 k2 11 h2x hay x , k ,
84 7 84 7
h 
Do 2 6x ,
5 7
π π⎛∈ ⎜⎝ ⎠
⎞⎟ neân ta phaûi coù : 
π π π π π π π π< + < < + < ∈ 2 5 k2 6 2 11 h2 6hay ( k, h )
5 84 7 7 5 84 7 7
⇔ < + < < + < ∈ 2 5 k2 6 2 11 h2 6hay ( k, h )
5 84 7 7 5 84 7 7
Suy ra k = 2, =h 1,2
5 4 53 11 2 35Vaäy x x
84 7 84 84 7 84
11 4 59x
84 7 84
π π π π= + = π ∨ = + =
π π∨ = + = π
π
Baøi 88 : Giaûi phöông trình 
( )33sin3x 3 cos9x 1 4sin 3x *− = + 
Ta coù : ( ) ( )3* 3sin 3x 4sin 3x 3 cos9x 1⇔ − − = 
sin9x 3 cos9x 1⇔ − = 
1 3sin9x cos9x
2 2
⇔ − 1
2
= 
1sin 9x sin
3 2
π π⎛ ⎞⇔ − = =⎜ ⎟⎝ ⎠ 6 
π π π π⇔ − = + π − = + π ∈ 59x k2 hay 9x k2 , k
3 6 3 6
π π π π⇔ = + = + ∈ k2 7 k2x hay x ,
18 9 54 9
k 
Baøi 89 : Giaûi phöông trình 
( )1tgx sin2x cos2x 2 2cos x 0 *
cos x
⎛ ⎞− − + − =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
Ñieàu kieän : cos x 0≠
Luùc ñoù : ( ) sin x 2* sin2x cos2x 4cos x 0
cos x cos x
⇔ − − + − = 
2sin x sin2x cos x cos x cos2x 4 cos x 2 0⇔ − − + − = ( )2sin x 1 2cos x cos x cos2x 2cos2x 0⇔ − − + =
=
≠
sin xcos2x cosxcos2x 2cos2x 0⇔ − − + = 
⇔ = − − +c os2x 0 hay sin x cos x 2 0 
( )
( )
⎡ = = − =⎢⇔ ⎢ + = + <⎢⎣
2
2 2 2
cos 2x 0 nhaän do cos 2x 2cos x 1 0 thì cos x 0
sin x cos x 2 voâ nghieäm vì 1 1 2
( ) π⇔ = + ∈
π π⇔ = + ∈


2x 2k 1 , k
2
kx , k
4 2
Baøi 90 : Giaûi phöông trình ( )3 18sin x *
cos x sin x
= + 
Ñieàu kieän : sin2x 0≠
Luùc ñoù (*) 28sin xcosx 3 sin x cosx⇔ = + 
( )
( )
⇔ − = +
⇔ − = −
⇔ − + = −
⇔ = − +
π⎛ ⎞⇔ = +⎜ ⎟⎝ ⎠
π π⇔ = + + π ∨ = − − +
π π π⇔ = + π ∨ = − + ∈ 
4 1 cos 2x cos x 3 sin x cos x
4 cos 2x cos x 3 sin x 3cos x
2 cos 3x cos x 3 sin x 3cos x
3 1cos 3x sin x cosx
2 2
cos 3x cos x
3
3x x k2 3x x k2
3 3
kx k x , k
6 12 2
π
Nhaän so vôùiñieàu kieän sin2x 0≠ 
Caùch khaùc : 
(*) 28sin xcosx 3 sin x cosx⇔ = + 
 ( hieån nhieân cosx = 0 hay sinx = 0 khoâng laø nghieäm cuûa pt naøy ) 
⇔ − = +28(1 cos x) cos x 3 sin x cos x 
⇔ − = +38cos x 8cos x 3 sin x cos x 
⇔ − = −36cos x 8cos x 3 sin x cos x 
⇔ − = −3 1 34 cos x 3cos x cos x sin x
2 2
π⎛ ⎞⇔ = +⎜ ⎟⎝ ⎠
π π⇔ = + + π ∨ = − − +
π π π⇔ = + π ∨ = − + ∈
π

cos 3x cos x
3
3x x k2 3x x k2
3 3
kx k x , k
6 12 2
Baøi 91 : Giaûi phöông trình 
( )9sin x 6cos x 3sin 2x cos2x 8 *+ − + = 
Ta coù : (*) ( )29sin x 6cos x 6sin x cos x 1 2sin x 8⇔ + − + − = 
( ) ( )
⇔ − − + −
⎛ ⎞⇔ − − − −⎜ ⎟⎝ ⎠
26 cos x 6sin x cos x 2sin x 9sin x 7 0
76cos x 1 sin x 2 sin x 1 sin x 0
2
=
= 
( )
⎛ ⎞⇔ − = + − =⎜ ⎟⎝ ⎠
=⎡⎢⇔ + = + <⎢⎣
2 2 2
71 sin x 0 hay 6 cos x 2 sin x 0
2
sin x 1
6cos x 2sin x 7 voâ nghieäm do 6 2 7
 π⇔ = + π ∈ x k2 , k
2
Baøi 92 : Giaûi phöông trình: ( )sin 2x 2cos2x 1 sin x 4 cos x *+ = + −
Ta coù : (*) ( )22sin x cos x 2 2cos x 1 1 sin x 4 cos x⇔ + − = + − 
( )
⇔ − + + − =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇔ − + − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⇔ − = + + = + <
2
2 2 2
2sin x cos x sin x 4 cos x 4 cos x 3 0
1 1 32sin x cos x 4 cos x cos x 0
2 2 2
1cos x 0 hay 2sin x 4 cos x 6 0 voâ nghieäm do 2 4 6
2
π⇔ = ± + πx k
3
2 
Baøi 93 : Giaûi phöông trình 
( )2sin 2x cos2x 7sin x 2cos x 4 *− = + − 
Ta coù : (*) ( )24 sin x cos x 1 2sin x 7sin x 2cos x 4⇔ − − = + − 
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
⇔ − + − + =
⎛ ⎞⇔ − + − −⎜ ⎟⎝ ⎠
⇔ − + − − =
⇔ − = + − = + <
2
2 2 2
2 cos x 2sin x 1 2sin x 7 sin x 3 0
12 cos x 2sin x 1 2 sin x sin x 3
2
2 cos x 2sin x 1 2sin x 1 sin x 3 0
2sin x 1 0 hay 2 cos x sin x 3 0 voâ nghieäm vì 1 2 3
π π⇔ = + π ∨ = + π ∈ 5x k2 x k2 , k
6 6
Baøi 94 : Giaûi phöông trình 
( )sin 2x cos2x 3sin x cos x 2 *− = + − 
Ta coù (*) ( )22sin x cos x 1 2sin x 3sin x cos x 2⇔ − − = + − 
( )
( ) ( ) (
⇔ − + − +
⇔ − + − −
⇔ − = + − =
2cos x 2sin x 1 2sin x 3sin x 1 0
cos x 2sin x 1 sin x 1 2sin x 1 0
2sin x 1 0 hay cos x sin x 1 0
)
=
= 
π⎛ ⎞⇔ = −⎜ ⎟⎝ ⎠
1sin x hay 2 cos x x 1
2 4
= 
π π π π⇔ = + π ∨ = + π − = ± + π ∈ 5x k2 x k2 hay x k2 , k
6 6 4 4
π π π⇔ = + π ∨ = + π = + π ∨ = π ∈ 5x k2 x k2 hay x k2 x k2 , k
6 6 2
Baøi 95 : Giaûi phöông trình 
( ) ( )2sin2x 3 cos2x 5 cos 2x *6π⎛ ⎞+ − = −⎜ ⎟⎝ ⎠ 
Ñaët t sin2x 3 cos2x= + , Điều kiện a b t a b− + = − ≤ ≤ = +2 2 2 22 2 
Thì 1 3t 2 sin2x cos2x 2cos 2x
2 2
⎛ ⎞
6
π⎛ ⎞= + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
− 
Vaäy (*) thaønh: 
− = ⇔ − − = ⇔ = ∨ = −2 2t 5t 5 2t t 10 0 t ( loaïi ) t
2 2
2 
 Do ñoù ( )* ⇔ cos 2x 1
6
π⎛ ⎞− = −⎜ ⎟⎝ ⎠ 
π π⇔ − = π + π ⇔ = +72x k2 x k
6 1
π
2
Baøi 96 : Giaûi phöông trình ( )+ + =32 cos x cos2x sin x 0 * 
Ta coù (*) 3 22 cos x 2 cos x 1 sin x 0⇔ + − + = 
( )
( )( ) ( )
( )( )
2
2
2 cos x cos x 1 1 sin x 0
2 1 sin x 1 cosx 1 sin x 0
1 sin x 0 hay 2 1 sin x 1 cosx 1 0
⇔ + − + =
⇔ − + − − =
⇔ − = + + − =
2
1 sin x 0 hay 1 2sin x cos x 2(sin x cosx) 0
1 sin x 0 hay (sin x cos x ) 2(sin x cos x) 0
⇔ − = + + + =
⇔ − = + + + = 
( )2 2 2sin x 1 haysin x cos x 0 hay sin x cos x 2 0 voâ nghieäm do: 1 1 2⇔ = + = + + = + <
sin x 1 hay tgx 1⇔ = = − x k2 hay x k2 , k
2 4
π π⇔ = + π = − + π ∈¢ 
Baøi 97 : Giaûi phöông trình ( )21 cos2x1 cot g2x *sin 2x
−+ = 
Ñieàu kieän : sin 2x 0 cos2x 1≠ ⇔ ≠ ±
Ta coù (*) 
2
1 cos2x 11 cot g2x
1 cos2x1 cos 2x
1cot g2x 1
1 cos2x
cos2x cos2x
sin 2x 1 cos2x
−⇔ + = = +−
⇔ = −+
−⇔ = +
Ta coù : 3sin x sin x cos x
2 2
π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
2
2
6tg 6sin .cos 3sin 2
1 tg cos
α α= α = α vôùi cos 0+ α α α ≠ 
Vaäy : ( ) ( )5 4 cosx* 3sin 2 ñieàu kieän sin x 0 vaø cos 0
sin x
−⇔ = α ≠ α ≠ 
3sin 2 sin x 4 cosx 5⇔ α + = 
a/ Khi 
4
πα = − ta ñöôïc phöông trình 
( )3sin x 4 cos x 5 1− + = ( Hieån nhieân sin x = 0 khoâng laø nghieäm cuûa (1)) 
3 4sin x cosx 1
5 5
⇔ − + = 
Ñaët 3 4cos vaø sin vôùi 0 2
5 5
ϕ = − ϕ = < ϕ < π 
Ta coù pt (1) thaønh : 
 ( )sin x 1ϕ+ =
x k2
2
x k
2
π⇔ ϕ+ = + π
π⇔ = −ϕ+ + π2
≠
b/ (**) coù nghieäm ( )23sin 2 16 25 vaø cos 0⇔ α + ≥ α
2
2
sin 2 1 vaø cos 0
sin 2 1
cos2 0
k ,k
4 2
⇔ α ≥ α ≠
⇔ α =
⇔ α =
π π⇔ α = + ∈¢
BAØI TAÄP 
1. Giaûi caùc phöông trình sau : 
 a/ ( )2 2 sin x cosx cosx 3 cos2x+ = + 
 b/ ( ) (2 cos x 1 sin x cos x 1− + ) =
 c/ ( )2 cos2x 6 cosx sin x= − 
 d/ 3sin x 3 3 cos x= − 
 e/ 2 cos3x 3 sin x cos x 0+ + = 
 f/ cos x 3 sin x sin 2x cos x sin x+ = + + 
 g/ 
3cosx 3 sin x
cosx 3 sin x 1
+ = + + 
 h/ si n x cos x cos2x+ =
 k/ 34sin x 1 3sin x 3 cos3x− = − 
 i / 63cosx 4sin x 6
3cos x 4sin x 1
+ + =+ + 
 j/ cos7x cos5x 3 sin 2x 1 sin 7x sin 5x− = − 
 m/ ( )4 44 cos x sin x 3 sin 4x 2+ + = 
 p/ 2 2cos x 3 sin 2x 1 sin x− = + 
 q/ ( )4sin 2x 3cos2x 3 4sin x 1− = −
 r/ 2tgx sin 2x cos2x 4 cosx
cosx
− − = − + 
 s/ 
( ) 2 x2 3 cosx 2sin 2 4 1
2 cosx 1
π⎛ ⎞− − −⎜ ⎟⎝ ⎠ =− 
2. Cho phöông trình cosx + msinx = 2 (1) 
 a/ Giaûi phöông trình m 3= 
 b/ Tìm caùc giaù trò m ñeå (1) coù nghieäm (ÑS : m 3≥ ) 
3. Cho phöông trình : 
 ( )m sin x 2 m cosx 2 1
m 2 cosx m 2sin x
− −=− − 
 a/ Giaûi phöông trình (1) khi m = 1 
 b/ Khi m 0 vaø m 2≠ ≠ thì (1) coù bao nhieâu nghieäm treân [ ]π π20 ,30 ? 
 (ÑS : 10 nghieäm) 
4. Cho phöông trình 
 ( )2sin x cosx 1 a 1
sin x 2 cosx 3
+ + =− + 
 a/ Giaûi (1)khi 1a
3
= 
 b/ Tìm a ñeå (1) coù nghieäm 
Th.S Phạm Hồng Danh 
TT Luyện thi đại học CLC Vĩnh Viễn 
 CHÖÔNG VI: PHÖÔNG TRÌNH ÑAÚNG CAÁP 
2 2a sin u bsinu cosu c cos u d+ + = 
Caùch giaûi : 
( )Tìm nghieäm u k luùc ñoù cosu 0 vaø sinu 1
2
π• = + π = = ± 
2Chia hai veá phöông trình cho cos u 0 ta ñöôïc phöông trình :• ≠ 
( )2 2atg u btgu c d 1 tg u+ + = + 
Ñaët ta coù phöông trình : t tgu=
( ) 2a d t bt c d 0− + + − = 
Giaûi phöông trình tìm ñöôïc t = tgu 
Baøi 127 : Giaûi phöông trình 
( )2 2cos x 3 sin2x 1 sin x *− = + 
Vì cosx = 0 khoâng laø nghieäm neân 
Chia hai veá cuûa (*) cho 2cos 0≠ ta ñöôïc 
( ) ( )2 2* 1 2 3tgx 1 tg x tg x⇔ − = + + 
Ñaët t = tgx ta coù phöông trình : 
22t 2 3t 0+ = 
t 0 t 3⇔ = ∨ = − 
Vaäy ( )* π⇔ = = − ⇔ = π = − + π ∈ tgx 0hay tgx 3 x k hay x k , k
3
Baøi 128 : Giaûi phöông trình 
( )3 3 2cos x 4sin x 3cos x sin x sin x 0 *− − + = 
• Khi x k thì cos x 0vaø sin x
2
π= + π = = ±1 
thì (*) voâ nghieäm 
• Do khoâng laø nghieäm neân chia hai veá cuûa (*) cho cos3x =cos x 0
ta coù (*) ( )3 2 21 4tg x 3tg x tgx 1 tg x 0⇔ − − + + = 
( ) ( )
⇔ + − − =
⇔ + − =
⇔ = − ∨ = ±
π π⇔ = − + π ∨ = ± + π ∈ 
3 2
2
3tg x 3tg x tgx 1 0
tgx 1 3tg x 1 0
3tgx 1 tgx
3
x k x k , k
4 6
Baøi 129 : Giaûi phöông trình 
( )4 2 2 43cos x 4sin x cos x sin x 0 *− + = 
Do cosx = 0 khoâng laø nghieäm neân chia hai veá cuûa (*) cho 4cos x 0≠
Ta coù : (*) 2 43 4tg x tg x 0⇔ − + =
⇔ = ∨ =
π π⎛ ⎞ ⎛⇔ = ± = ± ∨ = ±⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝
π π⇔ = ± + π ∨ = ± + π ∈
⎞⎟⎠

2 2tg x 1 tg x 3
tgx 1 tg tgx tg
4 3
x k x k , k
4 3
Baøi 130 : Giaûi phöông trình ( )sin 2x 2tgx 3 *+ = 
Chia hai veá cuûa (*) cho 2cos x 0≠ ta ñöôïc 
 (*) 2 2
2sin x cos x 2tgx 3
cos x cos x cos x
⇔ + = 2 
( ) ( )2 22tgx 2tgx 1 tg x 3 1 tg x⇔ + + = + 
3 2
t tgx
2t 3t 4t 3 0
=⎧⇔ ⎨ − + − =⎩
( ) ( )
=⎧⎪⇔ ⎨ − − +⎪⎩ 2
t tgx
t 1 2t t 3 0= 
⇔ =
π⇔ = + π ∈ 
tgx 1
x k , k
4
Baøi 131 : Giaûi phöông trình 
( )3sin x sin 2x sin 3x 6cos x *+ = 
( ) 2 3* 2sin x cos x 3sin x 4sin x 6cos x⇔ + − = 3 
( )• = = ±Khi cos x 0 ( sin x 1 ) thì * voâ nghieäm 
• Chia hai veá phöông trình (*) cho 3cos x 0≠ ta ñöôïc 
( )* ⇔ 2 32 22sin x 3sin x 1 sin x. 4cos x cos x cos x cos x+ − 3 6= ( )
( ) ( )
⇔ + + − =
⇔ − − + =
⇔ − − =
⇔ = = α ∨ = ±
π⇔ = α + π ∨ = ± + π ∈ α =
2 2 3
3 2
2
2tg x 3tgx 1 tg x 4tg x 6
tg x 2tg x 3tgx 6 0
tgx 2 tg x 3 0
tgx 2 tg tgx 3
x k x k , k ( vôùi tg
3
2)
Baøi 132 : (Ñeà thi tuyeån sinh Ñaïi hoïc khoái A, naêm 2003) 
Giaûi phöông trình 
( )2cos2x 1cot gx 1 sin x sin2x *
1 tgx 2
− = + −+ 
Ñieàu kieän sin 2x 0 vaø tgx 1≠ ≠ −
Ta coù : 
( )2 22 2 cos x cos x sin xcos2x cos x sin x
sin x1 tgx cos x sin x1
cos x
−−= =+ ++
( ) (= − = − +cos x cos x sin x do tgx 1 neân, sin x cos x 0)≠ 
Do ñoù : ( ) ( )2 2cos x 1* 1 cos x sin x cos x sin x sin2xsin x 2⇔ − = − + − 
( ) ( )
( )
−⇔ = −
⇔ − = −
⇔ − = = −
2
cos x sin x 1 sin 2x
sin x
cos x sin x sin x cos x sin x
cos x sin x 0 hay 1 sin x cos x sin x (**)
( )
( )
= ≠⎡⎢⇔ ⎢ = − ≠⎢⎣
2
2
tgx 1 nhaän so vôùi tgx 1
1 sin x tg x do cos x 0
cos xcos x
−
( )
( )
π⎡ = + π ∈⎢⇔ ⎢ − + =⎢⎣
π⇔ = + π ∈ ≠


2
x k , k
4
2tg x tgx 1 0 voâ nghieäm
x k , k nhaän do sin 2x 0
4
Löu yù : coù theå laøm caùch khaùc 
( ) ( )1 1* * 1 sin2x 1 cos2x
2 2
⇔ − + − =0 
⇔ = +
π⎛ ⎞⇔ = +⎜ ⎟⎝ ⎠
3 sin 2x cos 2x
3 2 sin 2x : voâ nghieäm
4
Baøi 133 : Giaûi phöông trình ( )sin 3x cos3x 2cos x 0 *+ + = 
( ) ( ) ( )3 3* 3sin x 4sin x 4 cos x 3cos x 2cos x⇔ − + − + 0=
=
3 33sin x 4sin x 4cos x cosx 0⇔ − + − 
Vì cosx = 0 khoâng laø nghieäm neân chia hai veá phöông trình cho ta 
ñöôïc 
3cos x 0≠
( ) ( ) ( )2 3 2* 3tgx 1 tg x 4tg x 4 1 tg x 0⇔ + − + − + = 
( ) ( )
⇔ − − + + =
=⎧⇔ ⎨ + − − =⎩
=⎧⎪⇔ ⎨ + − =⎪⎩
⇔ = − ∨ = ±
π π⇔ = − + π ∨ = ± + π ∈ 
3 2
3 2
2
tg x tg x 3tgx 3 0
t tgx
t t 3t 3 0
t tgx
t 1 t 3 0
tgx 1 tgx 3
x k x k , k
4 3
Baøi 134 : Giaûi phöông trình ( )3 5sin4x.cosx6sin x 2cos x *
2cos2x
− = 
Ñieàu kieän : 2 2cos2x 0 cos x sin x 0 tgx 1≠ ⇔ − ≠ ⇔ ≠ ±
Ta coù : (*) 
3 10sin2x cos2x cos x6sin x 2cos x
2cos2x
cos2x 0
⎧ − =⎪⇔ ⎨⎪ ≠⎩
36s