Bài giảng Hệ phương trình bậc hai

Ôn tập chương IVPhần I: Phương trình bậc haiPhần II: Bất phương trình và hệ bất PT bậc haiPhần III: Phương trình và bất PT qui về bậc haiPhần IV: Hệ phương trình bậc haiHệ phương trình bậc hai1. Hệ gồm một phương trình bậc hai và một phương trình bậc nhất của hai ẩnCách giải:Từ PT bậc nhất của x và y rút 1 ẩn theo ẩn kia rồi thế vào PT bậc 2, ta được một PT bậc hai theo một ẩn2. Hệ phương trình đối xứng đối với x và yĐịnh nghĩa : Hệ phương trình đối xứng đối với x và y là hệ mà mỗi PT của hệ không thay đổi khi ta thay x bởi y và y bởi xCách giải:Đặt S = x + y ; P = xy biến đổi hệ PT về 2 ẩn S và PSau khi tìm được S và P thì x, y là nghiệm của PT bậc 2X2- SX + P = 0Bài 5 (trang 128)Giải các hệ phương trình sau:a) x2 - 5xy + y2 = 72x + y = 1b) c) x2 + y2 + x + y = 8xy + x + y = 5x2 + y2 - x + y = 2xy + x - y = -1a) x2 - 5xy + y2 = 7 (1)2x + y = 1 (2)Bài giải : Từ PT (2)y = 1 - 2xThế vào PT (1) ta được :x2 -5x(1-2x)+(1-2x)2 = 7x2-5x+10x2+1-4x+4x2-7=015x2-9x-6=0x = 1x = -25Với x = 1Ta có y =-1Vớix = -25Ta có y =95Vậy:Hệ PT đã cho có 2 nghiệm:(1;-1) và (955-2;)b) x2 + y2 + x + y = 8xy + x + y = 5Đặt:S = x + y; P = xyHệ đã cho trở thànhS2 - 2P + S = 8 (1)P + S = 5 (2)Từ PT (2)P =5 - SThế vào PT (1) Ta được:S2 -2(5-S)+ S= 8S2 +3S - 18= 0S = 3S = - 6Khi S = 3 thì P = 2, do đó ta có :x + y =xy =32x, y là nghiệm của PT bậc haiX2 - 3X +2= 0X= 1X = 2Trường hợp này hệ PT đã cho có hai nghiệm (1;2) và (2;1)Khi S = -6 thì P =11Dễ thấyS2 - 4P = 36 - 44 = -8 <0Suy ra hệ vô nghiệmKết luậnHệ PT đã cho có 2 nghiệm: (1;2) và (2;1)c) x2 + y2 - x + y = 2xy + x - y = -1(I)Đặt t = -x ta được hệ phương trình t2 + y2 + t + y = 2- ty - t - y = - 1t2 + y2 + t + y = 2ty + t + y = 1(II)Đáp sốHệ PT (II) có 2 nghiệm t = 0 y = 1vàt = 1 y = 0Do đó hệ PT (I) có 2 nghiệmx = 0 y = 1vàx = -1 y = 0Bài tậpGiải hệ phương trình saux + 1y + 2+x + y = 5= 4Giải:Điều kiệnx + 1  0y + 2  0x  - 1y  - 2Đặtu =x + 1v =y + 2( u  0 ; v  0 )Hệ phương trình đã cho trở thành:u + v = 4u2 + v2 = 8Đặt S = u +v , P = uv ta có hệ phương trình:S =4S2 - 2P = 8P = 4S = 4Do đóu + v = 4uv = 4u = 2v = 2Vì vậy theo cách đặt ban đầu ta có:x + 1y + 2= 2= 2x = 3y = 2Vậy hệ PT có 1 nghiệmx = 3y = 2Tìm chỗ sai trong lời giải bài toán sau:Bài toán:Cho hệ phương trình x2 + y2 = mxy = 1 - mTìm những giá trị của m để hệ phương trình có nghiệmBài giải:Đặt S = x + y ; P = xy hệ PT đã cho trở thànhS2 - 2P = mP = 1 - mThay P = 1 - m vào PT thứ nhất ta cóS2 - 2(1 - m) = mS2 = 2 - m(*)Hệ PT đã cho có nghiệm khi và chỉ khi PT (*) có nghiệm tức là:2 - m  0  m  2Bài giải:Đặt S = x + y ; P = xy hệ PT đã cho trở thànhS2 - 2P = mP = 1 - mThay P = 1 - m vào PT thứ nhất ta cóS2 - 2(1 - m) = mS2 = 2 - m(*)Hệ PT đã cho có nghiệm khi và chỉ khi PT (*) có nghiệm S thoả mãn S2 - 4P  0 tức là ta phải có điều kiện2 - m  03m - 2  0m m  2232m  23Vậy:2m  23thì hệ phương trình đã cho có nghiệmVới